Encontrar el conjunto de todos los puntos de cluster

Question

Dado el conjunto $A=[a,b)$ con $a < b$ escriba el conjunto de todos los puntos de cluster de $A$ .

Porque dice $a < b$ No estoy seguro de cómo empezar la pregunta.

Son $a$ y $b$ ¿Siguen siendo los dos puntos de agrupación?

Para $b$ puedes conseguir $I=[b-e,b+e]$ con $e>0$ donde podemos encontrar un punto $y$ tal que $b-e < y < b < b+e$ y $y>a$ entonces $y$ es un elemento de $A$ y $y$ no es igual a $b$ así que $b$ es un punto de agrupación.

(Creo que la prueba anterior es correcta aunque soy nuevo en los puntos de cluster) Pero entonces para una, no estoy seguro de cómo probarlo. gracias

Answer 1

Dado $\epsilon>0$ (y $\epsilon < b-a$ ), basta con tomar el punto medio entre $a$ y $a+\epsilon$ . Esto demuestra que $a$ es un punto de agrupación de $A$ . Ahora debes demostrar, con argumentos similares, que todo punto interior de $A$ es también un punto de cluster, por lo que el cierre de $A$ es $[a,b]$ .

Por supuesto $a<b$ Si no es así $A=\emptyset$ .