Si N>2, es bien sabido que si dos matrices invertibles NxN A y B tienen los mismos determinantes de cualquier submatriz 2x2 correspondiente, entonces A=B o A=-B.
Dados entonces todos estos determinantes 2x2 de una matriz invertible A, ¿existe una forma "explícita" de recuperar/escribir A?
Si N=3 es fácil, ya que puedes obtener el determinante de A (hasta el signo) y todos sus cofactores, por lo que puedes obtener la matriz inversa de A o -A, pero cuando N>3?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Por "submatrices correspondientes" supongo que te refieres a aquellas $2\times2$ menores de edad obtenidos por la supresión de $n-2$ columas y $n-2$ filas, donde estas columnas y filas tienen el mismo $n-2$ índices. Una vez calculados los determinantes de estas submatrices se recupera la acción de $A$ en la plaza exterior $\Lambda^2 V$ .
Ahora el siguiente documento: "An algorithm for recognising the exterior square of a matrix" de Catherine Greenhill explica cómo obtener entonces la matriz original $A$ . Aquí está la cita pertinente:
Un problema computacional que se presenta inmediatamente es el siguiente: ¿cómo podemos determinar si una matriz dada $Y$ es igual al cuadrado exterior de otra matriz $X$ ? En particular, si tal $X$ existe, entonces nos gustaría construir uno. Un algoritmo de tiempo polinómico que resuelve este problema se describe en la sección 5.
El documento puede descargarse aquí .
Hay que tener un poco de cuidado aquí, porque el cuadrado exterior no determina del todo la matriz $X$ de forma única. He aquí otra cita del documento:
En la sección 4 demostramos que dos matrices $X$ , $X'$ con un rango de al menos tres tienen el mismo cuadrado exterior si y sólo $X'\in \{X, -X\}$ .
Así que si el rango es al menos tres (que lo es, ya que estás asumiendo la invertibilidad), entonces estamos más o menos hechos. Supongo que la situación en la que el rango es $\leq 2$ sería bastante fácil de resolver, pero en cualquier caso eso está fuera del alcance de la pregunta...
