Desracionalización de una expresión surd $\sqrt p - \sqrt {pq} + q$

Question

Consideremos dos surds disímiles $\sqrt p$ y $\sqrt q$ . Entonces el problema pide encontrar números racionales $a,b,c$ y $d$ tal que para $x=\sqrt p + \sqrt q$ podemos escribir, $$ \sqrt p - \sqrt {pq} + q = \frac {ax+b}{cx+d} $$ Al principio, mi intento fue una simple racionalización: $$ \frac {ax+b}{cx+d}=\frac {a(\sqrt p + \sqrt q)+b}{c(\sqrt p + \sqrt q)+d} $$ $$ =\frac {(ad-bc)\sqrt p + (ad+bc)\sqrt q + \{ac(q-p)+bd\}}{2cd\sqrt q + \{c^2(q-p)+d^2\}} $$ $$ =\frac {A\sqrt p +B\sqrt q + C}{D\sqrt q +E} $$ $$ =\frac {-AE\sqrt p-BE\sqrt q+AD\sqrt {pq}+(BDq-CE)}{D^2q-E^2} $$ Ahora parece bastante fácil igualar los coeficientes de surds en el LHS y el RHS, poner los valores de las constantes reducidas $A,B,C,D$ y $E$ para obtener 4 ecuaciones en 4 variables $a,b,c$ y $d$ y finalmente resolverlos. Créeme, esta es una idea absolutamente ridícula. ¿Hay alguna otra forma de resolver este problema, quizás un atajo más sencillo? Cualquier ayuda será apreciada.