Volumen de una "tienda"

Question

En $(x,y,z)$ -espacio, el suelo es el $(x,y)$ -avión $z=0$ . Sobre el suelo se construye una carpa gigante cuya altura sobre $(x,y)$ es $$ h(x,y)=z=\frac{100}{1+(x^2+4y^2)^2} $$ Encuentra el volumen que encierra la tienda (y el suelo).

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Para mí, el $x^2+4y^2$ sugiere un cambio de coordenadas. Sin embargo, no sé cómo abordar problemas como éste. Se trata de una pregunta de examen previa, por lo que no se deben utilizar cosas como Wolfram Alpha. ¿Podría alguien esbozar una cadena de pensamientos sobre cómo proceder con este tipo de problemas? Gracias.

Answer 1

$x^2+4y^2$ sugiere efectivamente un cambio de coordenadas. En particular, una forma: $$ z= \frac{100}{1+(x^2+y^2)^2} $$

sería circularmente simétrica (entonces, en ese caso, ¿qué coordenadas usarías?).

Pero en su ejercicio, en lugar de $y^2$ , usted tiene $4y^2$ es decir, el $y$ son dilatada de 1/2... entonces, ¿cuál es la relación entre los volúmenes de mi forma y la tuya?

Answer 2

Puede dejar que $x = r\cos\theta$ y $y = 0.5r\sin\theta$ . A continuación, date cuenta de que las superficies delimitadas serán tu función $z=0$ y $z=f(x,y)$ . El alcance de los límites de la región $E$ será de $0$ a $2\pi$ en $\theta$ y $0$ a $\infty$ en $r$ (piensa en ello como un círculo de "radio infinito"). A continuación, calcula el jacobiano de la transformación y evalúa la integral iterada.