Hace $\sum_{i=1}^\infty \ln(1-p_i)$ convergen a $-\sum_{i=1}^\infty p_i$ ?

Question

Hace $\sum_{i=1}^\infty \ln(1-p_i)$ convergen a $-\sum_{i=1}^\infty p_i$ para $0 \le p_i < 1$ ?

La expansión en serie de $\ln(1-p_i) = -p_i-\dfrac{p_i^2}{2}-\dfrac{p_i^3}{3}-\ldots=-\sum_{j=1}^\infty\dfrac{p_i^j}{j}$ . Así, tenemos $$\sum_{i=1}^\infty \ln(1-p_i)=-\sum_{i=1}^\infty\sum_{j=1}^\infty\dfrac{p_i^j}{j}$$

Entonces, ¿qué es lo siguiente? Gracias.

Answer 1

Esto no es cierto. Tome $p_i = \frac {1}{2^i}$ . Entonces el lado derecho es $-1$ (suma de una serie geométrica), mientras que el lado izquierdo es $\approx -1.24206$ según Wolfram Alpha