Maximizar $\sin \beta \cos \beta + \sin \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \beta$

Question

Necesito maximizar

$$ \sin \beta \cos \beta + \sin \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \beta \tag{1}$$

donde $\alpha, \beta \in [0, \frac{\pi}{2}]$ .

Con métodos numéricos he comprobado que

$$ \sin \beta \cos \beta + \sin \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \beta \leq 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} - \sin^2 \frac{\alpha + \beta}{2}. \tag{2} $$

Si $(2)$ es verdadera entonces puedo denotar $x = \frac{\alpha + \beta}{2}$ y demostrar (utilizando la desigualdad de Cauchy) que

$$ 2 \sin x \cos x - \sin^2 x \leq \frac{\sqrt{5}-1}{2}. \tag{3}$$

Pero es $(2)$ ¿es cierto? ¿Cómo puedo demostrarlo? Tal vez tenga que utilizar una idea diferente para maximizar $(1)$ ?

Answer 1

Dejemos que $$f = \sin \alpha \cos \alpha + \sin \beta \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\sin 2\alpha + \sin 2\beta) -\sin \alpha \sin \beta$$

$$\frac{\partial f}{\partial \alpha} = 0 \implies \cos 2\alpha - \sin \beta \cos \alpha = 0$$ $$\frac{\partial f}{\partial \beta} = 0 \implies \cos 2\beta - \sin \alpha \cos \beta = 0$$

A partir de la simetría (también puede no ser difícil de mostrar directamente) $$\beta = \alpha$$

Finalmente, $$\alpha = \beta = \frac{1}{2} \tan^{-1} 2$$

Sustituyendo en $f$ el valor máximo es 0,618033988749894820

Answer 2

Como sugirió Dan, resuelve los puntos estacionarios del gradiente. Acabarás resolviendo dos cuárticas (idénticas) en $\sin \alpha$ , $\sin \beta$ (que en realidad son sólo 2 cuadráticas debido a la simetría) y encontrar que el único punto estacionario en el rango está en $\alpha = \beta = \pi/6$ . Para que esto no sea el máximo en el dominio, el máximo debe ocurrir en la frontera, que son subproblemas mucho más sencillos de resolver (y por la simetría sólo hay que resolver 2), y de hecho demostrará que $\alpha = \beta = \pi/6$ da el máximo sobre el dominio.

Answer 3

Una buena solución con métodos elementales fue proporcionada por el usuario arqady en AoPS ( ver aquí ). Es lo siguiente:

Es fácil ver, utilizando las fórmulas de adición trigonométrica que

$$ \sin \beta \cos \beta + \sin \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \beta=\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)-\frac{1}{2}\cos(\alpha-\beta)+\frac{1}{2}\cos(\alpha+\beta) $$

Utilizando La desigualdad de Cauchy ,

$$ \sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)-\frac{1}{2}\cos(\alpha-\beta)+\frac{1}{2}\cos(\alpha+\beta) \leq \sqrt{\cos(\alpha - \beta)^2+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2} \cos (\alpha - \beta) $$

y, denotando $\cos(\alpha - \beta) = x$

$$ \sqrt{x^2+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2} x \leq\frac{\sqrt5-1}{2} $$

porque, después de cuadrar,

$$3x^2 +2x - 2\sqrt{5}x + 2\sqrt{5} - 5 \leq 0 \\ (x-1)(3x+5-2\sqrt{5}) \leq 0$$

que se mantiene porque $\alpha, \beta \in [0, \frac{\pi}{2}]$ así que $x \in [0, 1]$ . (El primer término es no negativo, el segundo es positivo).

La igualdad se mantiene si $\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} = \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\frac{1}{2}}$ y $x = 1$ . Por lo tanto, $\alpha = \beta$ y $\tan 2\alpha = 2$ así que

$$ \sin \beta \cos \beta + \sin \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \beta \leq \frac{\sqrt5-1}{2}$$

con igualdad en $\alpha = \beta = \frac{1}{2} \arctan 2$ .