Desigualdades de los fuertes $L^p$ y débil $L^p$ en un conjunto finito con medida de conteo

Question

Si $X$ es un conjunto finito contable con medida contable. Sea $f : X \to \mathbb C$ sea una función de valor complejo. Para cualquier $ 0 < p < \infty$ , demuestran que $$ ||f||_{ L^p } \le C_p (\log (1 + |X| ))^{1/p} ||f||_{L^{p,\infty}} $$ para alguna constante $C_p$ dependiendo sólo de $p$ . Donde $||f||_{ L^p }$ es el fuerte $L^p$ norma y $||f||_{L^{p,\infty}}$ es el débil $L^p$ norma.

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La pista dice normalizar $||f||_{ L^{p , \infty}} = 1$ y luego disponer manualmente de las regiones de $X$ donde $f$ es demasiado grande o demasiado pequeño.

Pero no tengo ni idea de ello. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Haz la normalización. Recuerde que $\|f\|_{L^{p,\infty}}^p=p\int_0^\infty \lambda_f(t)t^{p-1}dt$ . Tenemos que $\#\{|f(x)|\geq t\} \leq t^{-p}$ pero no basta con introducir eso, así que vamos a tirar algunos valores. Obsérvese que el límite trivial $|X|$ es menor que $t^{-p}$ sobre algunos valores pequeños de $t$ y que si $t>1$ , $\#\{|f(x)|\geq t\} <1$ pero ese valor tiene que ser un entero por lo que es cero. Ahora descomponga esa integral en base a qué valores de $t$ cada uno de los límites es relevante para y usted debe obtener su respuesta.

Answer 2

Denote $X:=\{x_1,\dots,x_n\}$ . En primer lugar, supongamos que el número $|f(x_j)|$ son distintos por parejas. Entonces $$|f(x_j)|^p(N-j+1)=|f(x_j)|^p\cdot \mu\{x, |f(x)|\geqslant |f(x_j)|\}\leqslant C_p\lVert f\rVert_{p,\infty}^p.$$ Entonces $\lVert f\rVert^p_p\leqslant C_p\lVert f\rVert_{p,\infty}^p\sum_{j=1}^N\frac 1{N-j+1}$ .

Para el caso general, aproximamos $f$ por debajo de las funciones $f_k$ para los que los números $|f_k(x_j)|$ son distintos por parejas.