Si tenemos una integral y queremos cambiar las coordenadas normalmente decimos: $$\iint_\Omega f(x,y)dxdy=\iint_{T(\Omega)}f(u,v)|J|dudv$$ donde $|J|$ es el determinante del jacobiano, entiendo por qué está aquí para tener en cuenta los cambios de sistemas de coordenadas, etc. pero ¿hay una buena prueba de por qué el jacobiano es de esta forma
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La idea básica es que al realizar la sustitución, los diferenciales $dx,\,dy$ se expresan como una combinación lineal de $du,\,dv$ siendo los coeficientes las derivadas parciales. Por ejemplo, si $x=f(u,v),$ entonces tenemos que $$dx=f_u\,du+f_v\,dv.$$
Por lo tanto, tiene un $2×2$ sistema lineal en $du,\,dv.$ Esto tiene una solución única si y sólo si el determinante no desaparece.
¿Esto aclara las cosas?
AyamGorengPedes
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Se trata de un intento de intuición en el caso de las dos dimensiones. El determinante se puede considerar como el área de un paralelogramo, en las coordenadas cartesianas estándar, dicho paralelogramo es un cuadrado.
Cuando hacemos transformaciones lineales, esencialmente estamos desplazando los 2 vectores unitarios $i$ & $j$ con la restricción de que el origen no cambie. Aplicando una transformación lineal a un punto $(x,y)$ mantendrá dicho punto en la misma coordenada $(x,y)$ después de la transformación, bajo el nuevo sistema de coordenadas. Trata de imaginar que apilas esto nuevo sobre el sistema de coordenadas cartesianas estándar. La página web nuevo punto tendría una nueva coordenada en la coordenada cartesiana estándar.
Por ello, podemos pensar que las relaciones son "iguales" antes y después de la transformación lineal, si el segmento $\bar{x}$ es el doble de largo que el segmento $\bar{y}$ en la coordenada cartesiana estándar, seguiría siéndolo en el nuevo sistema de coordenadas.
A continuación, puedes pensar en la longitud en cartesiano estándar como la relación de dicho objeto con el lado de una caja de 1x1, y en el área como la relación de dicho objeto con el área de una caja de 1x1. Recuerda que las proporciones se mantienen, así que esto también se aplicará al nuevo sistema de coordenadas. Piensa en la longitud y el área como cocientes de los lados y las áreas del objeto frente a los paralelogramos.
Así, si conocemos la relación de longitud o área en el nuevo sistema de coordenadas, digamos que el valor es $a$ El objeto también tendría una longitud o un área de proporción a en coordenadas cartesianas estándar. Lo único que queda es comparar la *razón del paralelogramo de 1x1 con una caja de 1x1. El determinante de la matriz de transformación da este cociente (ya que una caja de 1x1 es sólo 1, y cualquier cosa dividida por 1 es ella misma). Por eso multiplicamos por el determinante de la jacobiana.
