Cómo encontrar esto $\ker\sigma_{A}\cap \operatorname{Im}\sigma_{A}$

Question

Dejemos que $A$ sea una matriz de orden $n$ sobre un campo $F$ . Sea el polinomio característico de la matriz $A$ sea un polinomio irreducible en $F$ y que $M_{n}(F)$ sea el conjunto de $n$ matrices complejas de orden sobre $F$ .

(1):probar la matriz $A$ es invertible

Esta respuesta la puedo probar.

(2)Que $\sigma_{A}$ sea una transformación lineal en $M_{n}(F)$ , de tal manera que $$\sigma_{A}(X)=A^{-1}X-XA^{-1},\forall X \in M_{n}(F)$$ Encuentre $$\ker\sigma_{A}\cap \operatorname{Im}\sigma_{A}$$

Mi intento: Sólo puedo probar esto si la matriz $A$ es invertible. Gracias por su ayuda.

Answer 1

El polinomio característico es irreducible implica que los valores propios de $A$ son distintos (y no están contenidos en $F$ ). Cambiar $A$ por un conjugado podemos suponer que $A$ es diagonal sobre una extensión de $F$ . En ese caso, el núcleo del mapa $\sigma_{A}$ es el conjunto de todas las matrices conmutativas y son sólo las diagonales. La imagen de $\sigma_{A}$ tienen traza cero. Por lo tanto, la intersección requerida es cualquier matriz diagonal con traza cero.

Answer 2

(1) Un polinomio sin término independiente es ciertamente reducible. Como el polinomio característico es irreducible, debe tener un término independiente distinto de cero. Esto significa que $\det A$ no es cero y por lo tanto $A$ es invertible.

(2) Como el polinomio característico es irreducible, debe coincidir con el polinomio mínimo. En este caso, toda matriz que conmuta con $A$ debe ser un polinomio en $A$ (ver por ejemplo esta pregunta ).

Si $X\in \ker \sigma_A$ entonces $X$ se desplaza con $A$ y por tanto es un polinomio en $A$ .

Ahora mismo no sé qué hacer con $X\in \operatorname{im} \sigma_A$ .