Encuentre el valor $\sum_{n=1}^{\infty}(e-(1+\frac{1}{n})^n)$

Question

¿Cómo encontrar el valor de la siguiente serie?

$$\sum_{n=1}^{\infty}\bigg(e-\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n\bigg)$$

Answer 1

La suma es divergente en cuanto a $n>2$ $$e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n > \frac{1}{n}$$

Answer 2

La serie telescópica $$e-\left({1+{1\over n}}\right)^n=\sum_{j=1}^n\left({1+{1\over n}}\right)^{j-1}\left[\exp(1/n)-\left({1+{1\over n}}\right)\right] \exp((n-j)/n)$$ muestra que $$e-\left({1+{1\over n}}\right)^n\geq n \left[\exp(1/n)-\left({1+{1\over n}}\right)\right]\geq n \,{1\over 2}\left({1\over n}\right)^2 = {1\over 2n}$$ para todos $n\geq 1$ . Por lo tanto, la serie de la OP es divergente en comparación con la serie armónica.

Answer 3

La expansión de Taylor de $\frac {e^{x} - 1} {x}$ alrededor de $x = 0$ es $$1 + \frac {x} {2} + \frac {x^2} {3} + \cdots > 1 + \frac {x} {2}.$$ Poner $n = 1/x$ y que $n \to \infty$ tenemos $$n \left(e^{1/n} - \left(1 + \frac {1} {n}\right)\right) > \frac {1} {2n}.$$ Por la desigualdad de Minkowski, tenemos $$e - \left(1 + \frac {1} {n}\right)^n \geqslant n \left(e^{1/n} - \left(1 + \frac {1} {n}\right)\right) > \frac {1} {2n}.$$ Pero $\sum \frac {1} {2n}$ diverge, entonces también lo hace su serie.

Answer 4

Si el libro dice que converge, ¿qué pasa con el valor de

$$\sum_{n=1}^{\infty}\bigg(e-\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1/2}\bigg)$$

(que sí converge)?