Situación actual del modelo de Richardson (modelo de crecimiento)

Question

Un modelo de crecimiento estocástico muy simple en un entramado es el El modelo de Richardson (En realidad, fue definido originalmente por Murray Eden en los años 60).

Cada punto de la red puede estar ocupado o vacante, una vez que están ocupados permanecen así para siempre, y los puntos vacantes se ocupan a un ritmo igual a la fracción de los vecinos ocupados (por lo que un punto puede ser ocupado sólo si al menos uno de sus vecinos está ocupado). Al final, todos los puntos estarán ocupados, pero la forma límite de la agregación de puntos ocupados se parece más o menos a un círculo. Existe un vínculo (1) que discute un poco más sobre este modelo y da algunos documentos. Sin embargo, ninguno de estos documentos es reciente.

Pregunta : Me gustaría saber si todavía hay algunos problemas abiertos interesantes sobre este modelo, y más interesante aún, si a pesar de su simplicidad este modelo puede describir con precisión cualquier fenómeno biológico real.

(Puedo imaginar fácilmente que este modelo puede ser visto como un caso especial de algún modelo epidémico en una red, pero esto no es realmente lo que este post pretende)

Aquí hay una imagen (negro vacante, blanco ocupado) que tomé del documento original de Eden

enlace: https://services.math.duke.edu/~rtd/survey/survc1.html

artículo original : Eden, Murray. "Un proceso de crecimiento bidimensional". Actas del cuarto simposio de Berkeley sobre estadística matemática y probabilidad. Vol. 4. University of California Press Berkeley, 1961.

Answer 1

Una observación menor: Siempre he conocido este modelo como el Modelo Eden Parece que la mayoría de los probabilistas se refieren a ella como tal.

Para responder a su pregunta, sí, hay muchas cuestiones interesantes abiertas, principalmente en lo que respecta a las fluctuaciones de la interfaz en torno a su forma límite. El modelo de Eden es el ejemplo prototípico de un modelo del que se conjetura que pertenece a la clase de universalidad KPZ. Esto produce inmediatamente una gran cantidad de conjeturas. Por ejemplo, después de un tiempo de orden $t$ las desviaciones de una forma límite de radio $t$ (creo que no se conoce la forma exacta) debería estar en orden $t^{1/3}$ .

Se conjetura que la ley de esta fluctuación en cualquier dirección fija converge a la distribución GUE Tracy-Widom como $t \to \infty$ . Si en lugar de comenzar con un solo sitio ocupado, se comienza con un semiespacio ocupado, entonces se conjetura que la ley de la interfase entre sitios ocupados y vacíos, convenientemente recentrada y reescalada, converge a la Punto fijo KPZ . Se espera que todas estas conjeturas sean extremadamente difíciles, ya que el modelo Edén no tiene una estructura integrable conocida, por lo que no se dispone de los cálculos exactos que permitieron mostrar resultados similares para algunos otros modelos. Encontrarás más detalles en los diversos artículos de revisión de gente como Quastel, Spohn, Corwin, etc.