Encontrar la densidad de la distancia desde un punto de partida arbitrario hasta el árbol más cercano

Question

Los árboles de un bosque se distribuyen según un proceso de Poisson. Sea $X$ sea la distancia desde un punto de partida arbitrario hasta el árbol más cercano. Dado que el número medio de árboles por metro cuadrado es $\lambda,$ encontrar la densidad $f(x)$ de $X.$

La probabilidad de que haya $0$ árboles dentro de un círculo de radio $x$ desde el punto de partida es $e^{-\lambda \pi x^2},$ desde $\lambda \pi x^2$ es el número medio de círculos que cabría esperar en esa región. Pero no sé cómo relacionar esto con $X,$ la distancia desde un punto de partida arbitrario hasta el árbol más cercano. Fijar un punto de partida $S.$ Si la distancia de $S$ al árbol más cercano es $x,$ entonces no significa que hay al menos un árbol a esa distancia de $x$ ? Si es así, entonces la probabilidad de que el árbol más cercano esté a una distancia de $x$ desde el punto de partida debe ser la probabilidad de que haya al menos un árbol en el círculo de radio $x,$ que es $1-P(no \,trees\, occur).$ Esta es la función de distribución acumulativa ya que es la suma de las probabilidades de que el árbol más cercano esté a una distancia de $0\leq y\leq x$ desde el punto de partida, y por lo tanto para encontrar la densidad, simplemente tomamos la derivada.

¿Es esto correcto?

Answer 1

Lo que has dicho me parece correcto pero no parece responder a la pregunta original:

• El número previsto de árboles dentro de $x$ del punto es $\lambda \pi x^2$

• La probabilidad es exactamente un árbol dentro de $x$ de la cuestión es, como usted dice, $\lambda \pi x^2 e^{-\lambda \pi x^2}$ ya que se trata de un proceso de Poisson, pero esto no es especialmente útil

• La probabilidad de que no haya árboles dentro de $x$ del punto es $e^{-\lambda \pi x^2}$ ya que se trata de un proceso de Poisson

• La probabilidad es al menos un árbol dentro de $x$ del punto es $1-e^{-\lambda \pi x^2}$ y esto es una probabilidad acumulada

• La densidad para la distancia del árbol más cercano es entonces $2 \lambda \pi x e^{-\lambda \pi x^2}$ tomando la derivada