¿Cómo utilizar la integración de contornos para calcular una integral **real**?

Question

Supongamos que nos dan:

$$\text{Evaluate} \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^2} \text{dx}$$

Esto es bastante fácil porque te darás cuenta de que:

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^2} \text{dx} = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} $$

Pero, ¿se puede hacer esto mediante un análisis complejo, la integración de contornos?

Además, ¿es posible (utilizando ¿Integración del contorno? )

$$\int_{0}^{1} \frac{\ln(1+x)}{1+x^2} \text{dx}$$

Gracias.

Answer 1

Pero, ¿se puede hacer esto mediante un análisis complejo, la integración de contornos?

Por supuesto. Como ya se ha sugerido en los comentarios, utilice la simetría del integrando para reescribir la integral como $~\displaystyle\frac12\int_{-1}^1\frac{dx}{1+x^2},~$ entonces elija $x=e^{it}$ , donde $t\in(-\pi,0)$ y observe que el denominador tiene raíces en $x=\pm i\iff t=\pm\dfrac\pi2.~$ Creo que puedes seguir a partir de aquí. :- $)$