¿Cómo es $\partial/\partial t$ ¿un vector?

Question

¿Cómo es $\partial_t=\partial/\partial t$ un vector (Killing) en algún sistema de coordenadas?

Lo sé. $\partial f/\partial t$ es la derivada parcial de $f$ con respecto a $t$ .

Pero, ¿qué hay de $\partial/\partial t$ ? ¿Sigue siendo la derivada parcial con respecto a $t$ ? ¿Pero de qué?

Answer 1

$\partial/\partial t$ est no una derivada parcial. Es sólo una notación. Lo que antes se escribía como $\hat u_i$ o $\hat x_i$ se escribe ahora como $$ \frac{\partial}{\partial x^i} \tag{1} $$

En otras palabras, $\partial/\partial x^i$ es un vector estándar, pero con una notación nueva y diferente. Esta notación es conveniente por varias razones; por ejemplo, el cambio de coordenadas locales se parece a la regla de la cadena (lo que en última instancia no es realmente una coincidencia, sino el resultado del hecho de que el espacio tangente está abarcado por gradientes).

Además, solemos definir los vectores como derivaciones, de modo que para un determinado gráfico de coordenadas, $$ v(f)\equiv\sum_i v_i \frac{\partial f}{\partial x^i} \tag{2} $$ que es coherente con $$ v=v_i\frac{\partial}{\partial x^i} \tag{3} $$ donde en $(2)$ el símbolo $\partial$ denota una verdadera derivada, y en $(3)$ denota un vector base.

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Si se quiere, en la notación antigua se puede escribir el vector Killing como $k=(1,0,0,0)$ en lugar de $k=\partial/\partial t$ . Es exactamente lo mismo.

Answer 2

Un vector $\xi^\mu$ está asociado al operador diferencial $\xi^\mu\partial_\mu$ que es $\partial_t$ para $\xi^\mu=\delta^\mu_0$ así que $\nabla^\mu\xi^\nu=0$ . Así, $\nabla^\mu\xi^\nu+\nabla^\nu\xi^\mu=0$ , haciendo que $\xi^\mu$ un vector de muerte.