El ejemplo más extremo de espacio topológico de Willard

Question

En la Topología General de Willard, página 32, dice:

"Si $y$ está cerca de $x$ en un espacio métrico, entonces $x$ está cerca de $y$ pero puede ocurrir en un espacio topológico que $y$ está en cada barrio de $x$ mientras que $x$ no está en la vecindad de $y$ (un ejemplo muy extremo; esto no ocurre en los espacios topológicos útiles, aunque muchos espacios útiles carecen de simetría en algún grado)"

Pero no entiendo cómo puede ser esto posible. ¿Cómo puede existir un ejemplo tan extremo de espacio topológico si todo el espacio se contiene a sí mismo y entonces es una vecindad de cualquier punto, por lo que no puede haber un punto que no esté en ninguna vecindad del otro?

Se aceptaría cualquier aclaración sobre lo que quiso decir, o incluso un ejemplo explícito de ese espacio topológico tan extremo.

Gracias.

Answer 1

Tienes razón: todo el espacio será siempre una vecindad de $y$ que contiene $x$ . (Estoy asumiendo que $x \neq y$ .) Supongo que quería excluir ese barrio como un ejemplo trivial, y decir que no otros barrios de $y$ contienen $x$ .

En el Espacio de Sierpinski por ejemplo, $1$ tiene un barrio que no contiene $0$ pero $0$ tiene un único barrio, que sí contiene $1$ . En general, la "topología de puntos excluidos" le dará más ejemplos.