La forma correcta de interpretar $(-1)^{m/n}$

Question

Está claro que hay que escribir $(-1)^{\frac{1}{3}}=-1$

¿Qué pasa con $$(-1)^{\frac{2}{6}}$$ ? ¿Es así? $$(-1)^{\frac{2}{6}}=(-1^2)^{\frac{1}{6}}=1\\or ?\\(-1)^{\frac{2}{6}}=(-1)^{\frac{1}{3}}$$ con respecto a $$\mathbb{Q}=\left\{\frac{m}{n}|m,n \in \mathbb{Z} ,n\neq0 ,(m,n)=1\right\}$$ $$\frac{2}{6} \text {is not in} \mathbb{Q}$$ Siento hacer esta pregunta, pero me quedo atascado en esto ...y sin resultado .

Gracias de antemano.

Answer 1

Desde $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ hay que llegar a la conclusión de que $$(-1)^{\frac{2}{6}} = (-1)^{\frac{1}{3}} = -1.$$ En este caso, la notación es inequívoca. Dicho esto, aquí ocurre (quizás) algo interesante. Lo que usted ha puesto de relieve es que $a^{bc}$ no es siempre lo mismo que $(a^b)^c$ y han dado un ejemplo en el que esta identidad potencial se rompe.

¿Cree que puede determinar las condiciones suficientes para $(a^b)^c$ para que sea igual a $a^{bc}$ ?

Answer 2

Una definición precisa de los exponentes racionales es la clave aquí. Y en un primer nivel es mejor mantener los números complejos fuera de la discusión. Entonces tenemos el siguiente teorema:

Teorema : Si $a$ es un número real positivo y $n$ es un número entero positivo, entonces existe un único número real positivo $b$ tal que $b^{n} =a$ . Este número $b$ se llama el $n$ -raíz de $a$ y se denota por $a^{1/n}$ o $\sqrt[n] {a}$ .

Además, utilizando este teorema podemos demostrar que si $n$ es un entero positivo impar y $a<0$ entonces hay un único $b<0$ tal que $b^{n} =a$ y como antes $b$ se llama $n$ -raíz de $a$ y se denota por $a^{1/n}$ o $\sqrt[n] {a}$ . A continuación se ve fácilmente que si $n$ es un número entero positivo par y $a<0$ entonces no hay ningún número real $b$ tal que $b^{n} =a$ y por lo tanto el símbolo $a^{1/n}$ o $\sqrt[n] {a}$ no está definido en el sistema de números reales si $a<0$ y $n$ es un número entero positivo par.

Siguiente $a\neq 0$ sea un número real y $r\neq 0$ sea un número racional. Entonces podemos expresar $r$ como $r=m/n$ donde $m$ es un número entero y $n$ es un número entero positivo y $(m, n) =1$ . La expresión $a^{r}$ se define como $(a^{1/n})^{m}$ siempre que $a^{1/n}$ se define .

Junto con las definiciones anteriores también tenemos por definición $a^{0}=1$ si $a\neq 0$ y $0^{r}=0$ si $r>0$ . A partir de estas definiciones es fácil ver que $(-1)^{2/6}=(-1)^{1/3}=-1$ .

De lo anterior debe quedar claro que expresiones como $0^{0},0^{-1},(-1)^{1/2}$ no están definidos en el sistema de números reales.

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Las definiciones anteriores se cubren típicamente cuando un estudiante se introduce en el tema de los surds y las propiedades habituales de los exponentes se mantienen bajo estas definiciones. Aparte del teorema mencionado al principio, la definición es puramente algebraica y las pruebas de las propiedades de los exponentes racionales se dan utilizando el teorema mencionado anteriormente combinado con una manipulación algebraica adecuada.

Answer 3

Cuando hablamos de $n$ raíz de un número, debemos tener en cuenta que hay más de una respuesta (en el campo Complejo). Por ejemplo, $(-1)^{1/3}$ puede ser $-1$ , $\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ o $\frac{1-\sqrt{3}i}{2}$ . Estas raíces se calculan utilizando $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)=0$ . Del mismo modo, se puede calcular $(-1)^{2/6}$ encontrando las raíces de $x^6-1=(x^3-1)(x^3+1)$ . Tres de las raíces coincidirán con las que he mencionado anteriormente, mientras que otras son extrañas.