Simétrica matriz siempre es diagonalizable?

Question

Estoy leyendo mi libro de texto de álgebra lineal y hay dos frases que me hacen confundir.

(1) matriz Simétrica $A$ puede ser tenidos en cuenta en la $A=Q\lambda Q^{T}$ donde $Q$ es ortogonal de la matriz Diagonalizable
($Q$ tiene vectores propios de a $A$ en sus columnas, y $\lambda$ es la matriz diagonal que tiene los autovalores de a $A$)

(2) Cualquier matriz simétrica tiene un conjunto completo de vectores propios ortonormales
si sus autovalores son distintos o no.

Es una contradicción, ¿verdad?
Diagonalizable significa que la matriz tiene n distintos vectores propios (por $n$ $n$ de la matriz).
Si simétrica matriz puede ser tenidos en cuenta en la $A=Q\lambda Q^{T}$, significa que
simétrica matriz tiene n autovalores distintos.
Entonces, ¿por qué la frase "si sus autovalores son distintos o no", se añade en (2)?

Después de la lectura de autovalor y autovector parte de los libros de texto, llego a la conclusión de que toda matriz simétrica es diagonalizable. Es eso cierto?

Answer 1

Diagonalizable no significa que no tenga distintos autovalores. Pensar acerca de la identidad de la matriz, es diagonaliable (ya diagonal, pero los mismos autovalores. Pero lo contrario también es cierto, cada matriz con distintos valores propios pueden ser diagonalized.

Answer 2

Es definitivamente NO es cierto que un diagonalizable la matriz tiene todos los distintos autovalores-tome la matriz de identidad. Esto es suficiente, pero no necesaria. Aquí no hay contradicción.

Answer 3

Hay una diferencia entre la multiplicidad algebraica de los valores propios (número de veces que un autovalor se muestra en el polinomio característico) y su multiplicidad geométrica (nulidad). Supongo que esta es la parte confusa!

Para diagonalizability, es necesario que la multiplicidad geométrica es igual a la multiplicidad algebraica de los valores propios.

Ver la similitud de transformación para obtener más detalles.

Answer 4

En realidad, la matriz simétrica es una Hermitian de la matriz con la especialidad de tener una igualdad de conjugado. Y todos Hermitian matriz puede encontrar una matriz unitaria a diagonalize no importa que sus autovalores son distintos o no.