Si integral es cero y la función es continua y no negativa, entonces ¿qué pasa con la función?

Question

Si $f$ es continuo en $[a,b]$, $f(x)0$ en $[a,b]$ y $$\int_{a}^{b} f(x) =0$$

entonces probar que $f(x)=0$ para todos $x \in [a,b]$.

Intenté con la definición integral definida de Riemann, pero no pude continuar

Answer 1

Algo más fácil. Si $f$ es continuo en $[a,b]$ entonces podemos definir un mapa $F:[a,b]\to\Bbb R$ tal que $F(x)=\int_a^x f(x) dx$ y $F'=f$.

Tenemos $F(x)≥0$ por cada $x \in [a,b]$ porque $f(x)\geq0$ por cada $x \in [a,b]$.

También $F$ está aumentando porque $f(x)≥0$ y tenemos $F(a)=F(b)=0$, por lo tanto $F$ es constante y especialmente $F(x)=0$.

Así que $f(x)=0$ por cada $x \in [a,b]$.