$\newcommand{\Con}{\operatorname{Con}}$ La intención del programa de Hilbert era comenzar con una lógica simple y luego justificar lógicas más complejas a partir de ahí. Así, obtenemos una secuencia de lógicas: $$ L_1 → L_2 → L_3 \to \cdots $$
Su idea inicial era justificar una sucesión por $L_n \vdash \Con(L_{n+1})$ . Esta idea fue desbaratada por el segundo teorema de incompletitud de Gödel. No se puede demostrar la consistencia de un sistema más complejo si no se puede demostrar su propia consistencia.
Sin embargo, podríamos pensar en otras formas de sucesión. La siguiente obvia es utilizar la consistencia relativa, $L_n \vdash \Con(L_n) → \Con(L_{n+1})$ . Desgraciadamente, esto también falla debido a Gödel, porque las lógicas más complejas pueden demostrar la consistencia de las lógicas menos complejas. Si $L_{n+1} \vdash \Con(Ln)$ y $L_n \vdash \Con(L_n) → \Con(L_{n+1})$ y $L_{n+1}$ puede probar todo de $L_n$ Entonces eso implicaría $L_{n+1} \vdash \Con(L_{n+1})$ .
Se sugiere que la sucesión sea la siguiente: $L_{n+1} = L_n + \Con(L_n)$ . Lo curioso de esto es que desafía a Gödel, ahora podemos hacer pruebas de consistencia en la sucesión (aunque Gödel sigue siendo válido para todo el sistema). Desgraciadamente la lógica sucesoria no puede hacer mucho más, salvo la prueba de consistencia.
Una mirada más atenta permite descubrir que la fuerza de un sistema suele estar determinada por la expresividad que permite la hipótesis de inducción. Un ejemplo es $I\Sigma_1$ donde el esquema de inducción se limita a $\Sigma_1$ frases. $I\Sigma_2$ puede demostrar la consistencia de $I\Sigma_1$ . También las clasificaciones en la matemática inversa se basan en parte en lo que permite la hipótesis de la inducción.
Esto significa que si tenemos una lógica y la ampliamos con expresividad adicional y esa expresividad también se permite para la hipótesis de inducción, entonces el sistema se hará más fuerte.
Más expresividad lleva a más fuerza
Esto es devastador para el programa de Hilbert. Una lógica más compleja no es sólo una forma práctica de tratar ciertos conceptos, como ocurre con los lenguajes informáticos de mayor nivel en comparación con la máquina de Turing, sino que también añade más verdad.
Sin embargo, los humanos aceptamos fácilmente construcciones de nivel superior para la hipótesis de inducción en una sucesión. Cuando creamos una sucesión
1) Demostramos que la nueva lógica es una extensión conservadora de la original, sin tener en cuenta la inducción.
2) Bueno, para la inducción sólo lo aceptamos "intuitivamente".
Llamémosle principio de "inducción universal". Este principio dice informalmente que podemos aceptar cualquier cosa como hipótesis de inducción. Que yo sepa, nunca hemos encontrado una paradoja en este ámbito.
Mi pregunta es: ¿hay alguna manera de formalizar este principio de inducción universal? No creo que se pueda responder directamente a esta pregunta. Una respuesta positiva sería un gran desarrollo en el programa de Hilbert. Una respuesta negativa probablemente no es posible, porque la pregunta no es una cuestión matemática precisa.
¿Hay alguna literatura que piense lo mismo?
Si no es así y si cree que es posible, ¿cuáles son las restricciones que debemos establecer y en las que debemos formularlo?
Si cree que no es posible, ¿cuáles son los argumentos en contra?
Aunque la pregunta no es matemáticamente precisa, espero que no se vote en contra por este motivo. Estoy pensando en esto, hice una pequeña progresión y me gustaría escuchar la opinión de la comunidad.
