Una base para un endomorfismo nilpotente

Question

Dejemos que $E$ sea un espacio vectorial complejo de dimensión 3. Sea $f$ sea un endomorfismo no nulo tal que $f^2=0$ . Quiero demostrar que hay una base $B=\{b_1,b_2,b_3\}$ de $E$ tal que $$f(b_1)=0, f(b_2)=b_1,f(b_3)=0$$

Editar Así es como veo la respuesta ahora:

$f$ al ser distinto de cero, existe $x_0\in E$ tal que $f(x_0)\not =0$ .

Dejemos que $M=span\{f(x_0),x_0\}$ . Desde $f^2=0$ demostramos fácilmente que $f(x_0)$ y $x_0$ son linealmente independientes, por lo que forman una base para $M$ .

Tomamos $b_1=f(x_0)$ , $b_2=x_0$ .

Tome cualquier $z\not \in M$ .

Si $z\in \ker f$ entonces toma $b_3=z$ .

Si $z\not \in \ker f$ entonces existe $\beta \not = 0$ tal que $f(z)=\beta f(x_0)$ (porque $\dim(Im(f))=1$ por lo que es abarcado por cualquier vector no nulo, tomamos $f(x_0)$ como vector de extensión). Tome $z'=\dfrac{1}{\beta}z-f(x_0)$ por lo que $z'\in \ker f$ y tomamos $b_3=z'$ .

Answer 1

No lo estás haciendo en el orden correcto. Elige $b_2$ así que $f(b_2) \neq 0$ . Entonces $b_1 = f(b_2)$ y elija cualquier otro $b_3 \in Ker(f)$ que independientemente de $b_1$ .

Answer 2

Puedes usar la forma Jordan-Normal para resolver esto fácilmente. De hecho, la demostración iría en la línea de demostrar el teorema general de la forma Jordan-Normal directamente, así que puede que quieras mirar la demostración para eso si no quieres usar el teorema directamente.