Límite de una secuencia utilizando la ecuación del límite.

Question

Un libro que estoy leyendo contiene la siguiente afirmación.

Dejemos que $a_n$ sea la secuencia, tal que $$ a_1 = s\,, \qquad a_{n+1} = s + c a_n^2 \quad \text{for $ n = 1, 2, 3, \N puntos $} $$ y asumir que $s \ge 0$ y $4 c s \le 1$ . Entonces, $$ a_n \le \frac{1 - \sqrt{1 - 4 c s}}{2 c} \quad \text{for all $ n \N - 1 $.} $$

La prueba dice que la afirmación se deduce considerando la "ecuación límite $a = s + c a^2$ ".

He comprobado que $\frac{1 - \sqrt{1 - 4 c s}}{2 c}$ es la solución de la "ecuación límite", pero ¿por qué se deduce la afirmación anterior?

Answer 1

Escriba $\theta = \dfrac{1-\sqrt{1-4cs}}{2c}$ . Entonces $\theta = s + c\theta^2$ .

Puede demostrar que $a_n \le \theta$ para todos $n \ge 1$ por inducción en $n$ . En el paso de inducción, la hipótesis de inducción $a_n \le \theta$ implica que $$a_{n+1} = s + ca_n^2 \le s+c\theta^2 = \theta$$ que te da $a_{n+1} \le \theta$ .