¿Estricta convexidad implica la diferenciabilidad?

Question

Sé que la convexidad no implica la diferenciabilidad, por ejemplo f(x)=|x| es convexa pero no diferenciable. Sin embargo, |x| no es estrictamente convexa. Así que me pregunto si la estricta convexidad implica la diferenciabilidad.

Hice una búsqueda y encontré la Wikipedia implícitamente da la respuesta negativa: http://en.wikipedia.org/wiki/Convex_function#Strongly_convex_functions Se dice que "una fuertemente convexa función también es estrictamente convexo" y "una función no tiene que ser diferenciable en orden a ser fuertemente convexo".

¿Alguien puede proporcionar un ejemplo concreto? Gracias de antemano.

Answer 1

$$f(x)=x^2+|x|$$ is strictly convex because of the $x^2$ term but not differentiable at $0$ because of the $|x|$ plazo

Answer 2

Elija una estrictamente convexa de la función $u$ y algunas secuencias de $(x_n)$ $(a_n)$ de manera tal que todos los $a_n$ es positivo y el de la serie de $\sum\limits_na_n(1+|x_n|)$ converge. Entonces la fórmula $$ v(x)=\sum\limits_na_n|x-x_n| $$ define una función adecuada $v$ tal que $u+v$ es estrictamente convexa, y no diferenciable en ningún $x_n$.

Los contables conjunto de puntos de $X=\{x_n\}$ puede ser denso. La función de $v$ es diferenciable en todos los $x$ no $X$, con $$ v'(x)=\sum\limits_na_n\,\mathrm{sgn}(x-x_n). $$

Answer 3

La función $$f(x)=\max(e^x,e^{-x})$$ es estrictamente convexa, pero no diferenciable en a $0$.