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Demostrar que para cualquier número entero n no negativo el número $5^{5^{n+1}} + 5^{5 ^n} + 1$ no es primo

Mi profesor de matemáticas nos dio problemas para trabajar en las pruebas, pero este problema me ha estado volviendo loco. Traté de factorizar o encontrar patrones en los números y todo lo que se me ocurre es que para $n > 0$, el número $\mod 100$ es $51$ pero eso no ayuda. Definitivamente hay una manera fácil de hacer esto, pero no puedo pensar en ello. Gracias si puedes ayudarme

Demostrar que para cualquier entero no negativo $n$ el número $5^{5^{n+1}} + 5^{5^n} + 1$ no es primo.

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Eric Naslund Puntos 50150

Dejando $x=5^{5^{n}},$ que tenemos que $$5^{5^{n+1}}+5^{5^{n}}+1=x^{5}+x+1.$$ Now the claim follows since $$x^{5}+x+1=\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{3}-x^{2}+1\right).$$

Añadido: Esto puede ser de interés para el lector. Este problema, junto con el comentario de KCd, motivó la siguiente pregunta, preguntando si $$x^n+x+1$$ is irreducible when $n\not\equiv 2\pmod{3}$, and $n\geq 1$. Alex Jordan's answer there referred to a paper of Ernst Selmer which proves that this polynomial is indeed irreducible for these $n$.

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Alotor Puntos 3438

Aquí hay una pista.

Deja que $a_n=5^{5^{n+1}}+5^{5^n}+1$.

Entonces, con algún software, podemos encontrar que el factor primo más pequeño de $a_1$ y $a_2$ (al menos...) es 31.

¿Puedes demostrar que 31 siempre divide $a_n$?

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