¿Cuándo es la terminación de un anillo un anillo local?

Question

Que $R$ sea un anillo conmutativo con unidad y que $m$ sea un ideal máximo de $R$. ¿Hay condiciones conocidas en $R$ o $m$ tales que el $m$-acabado ádico $\hat{R}$ de $R$ es un anillo local?

Dado que la finalización de un anillo local noetheriano es de nuevo local, estoy principalmente interesado en casos en los que $R$ en sí no es local.

Un ejemplo es el anillo polinómico $R=k[X_1,...,X_n]$ ($k$ un campo) con $m=(X_1,...,X_n)$ donde el anillo de serie de potencia $\hat{R}=k[[X_1,...,X_n]]$ es local con el ideal máximo $(X_1,...,X_n)$.

Answer 1

Es fácil mostrar que $m\hat{R}$ es el ideal máximo de $\hat{R}$. Ahora sabemos que la topología en $\hat{R}$ es la misma que $m\hat{R}$ - topología ácida en $\hat{R}$ como un $\hat{R}$- módulo. por lo que está completo con respecto a la última y por lo que $m\hat{R}$ está contenido en rad$(\hat{R})$. por lo tanto, es ideal máximo único.