Raíz cuadrada de Matriz Definida Positiva

Question

Permita que $A$ sea una matriz definida positiva de $n\times n$. Demostrar que existe una matriz definida positiva única $B$ tal que $B^2=A$.

Conozco la existencia. Pero, ¿qué pasa con la singularidad? - ¿Me ayudarías?

Answer 1

Sugerencias:

¿Puede escribir la matriz en Jordan Normal Form (por qué)?

Si tienes $B = P D^{1/2}P^{-1}$, donde $D$ (por supuesto, esto puede ser complejo) representa la raíz cuadrada de la matriz diagonal (que es solo la raíz cuadrada de los valores propios), ¿qué es lo que $B^2$ iguala?

Answer 2

Dado que $A$ es simétrico real, considere la descomposición espectral $B = Q\sqrt{\Lambda}Q^T$, donde $Q$ es ortogonal y $\Lambda$ diagonal.