Problema.
Supongamos que una secuencia de $\{a_n\}_{n\ge 1)}$ es un estricto aumento de la secuencia de enteros positivos tales que $$\forall i,\phantom{;}j(i\neq j);\phantom{;}a_i \no\mediados de a_j$$ Demostrar que $a_{n+1}-a_{n}$ es ilimitado.
Había probado varios tipos de formas pero no pude probar el problema; en Lugar de ello, he demostrado el siguiente resultado, que es más débil que el problema original;
Resultado más débil me lo demostró.
Supongamos que una secuencia de $\{a_n\}_{n\ge 1)}$ es un estricto aumento de la secuencia de enteros positivos tales que $$\forall i,\phantom{;}j(i\neq j);\phantom{;}\color{blue}{\gcd(a_i, a_j)=1}$$ Entonces $a_{n+1}-a_{n}$ es ilimitado.
He utilizado teorema del resto Chino para probar esto. (Voy a publicar si usted lo desea.) Traté de aplicar un método similar para el problema original, pero he fallado;
¿Tienes algunas ideas para el problema?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Las secuencias de enteros positivos tal que ningún elemento de la secuencia es divisible por cualquier otro son llamados "primitivos", y ha habido una gran cantidad de trabajo realizado para averiguar cómo densa estas secuencias pueden ser. Un resultado inicial de Erdős es que todas las primitivas de las secuencias deben tener menor densidad $0$, lo que implica inmediatamente que deben tener arbitrariamente grandes lagunas. La prueba es bastante corta y se da en la"Nota sobre las secuencias de enteros no uno de los cuales es divisible por cualquier otro", J. Londres Matemáticas. Soc. 10 (1935), pp 126-128. También hay un resultado similar en Felix Behrend, "En las Secuencias de Números no Divisibles uno por el otro", J. Londres Matemáticas. Soc. (1935) s1-10(1): 42-44 (papel está detrás de un pago de la pared.)
Más tarde, más precisa resultado por Erdős, Sárközy y Szemerédi ("En un teorema de Behrend", J. Australiana de la Sociedad Matemática, 7 (1967), pp 9-16) es que si $(a_1,a_2,\dots)$ es una primitiva de la secuencia, entonces $$ \sum_{a_i<x} \frac{1}{a_i}=o(\frac{\log x}{\sqrt{\log \log x}}), $$ y este es el mejor posible en el sentido de que la fracción del lado derecho no puede ser dividido por $h(x)$ $\lim_{x\to\infty} h(x)=\infty.$
