¿Cuándo una ecuación de valor absoluto tiene una única solución?

Question

Encuentre $m \in \mathbb R$ para la cual la ecuación $|x-1|+|x+1|=mx+1$ tiene una única solución. ¿Cuándo una ecuación de valor absoluto tiene sólo una solución?

He resuelto para $x$ en los 4 casos y obtuvo $x=\frac{1}{-m-2},x=\frac{1}{2-m},x=\frac{1}{m},x=-\frac{3}{m}$

Answer 1

Usted tiene $$ |x-1|+|x+1|=\begin{cases} 2x,&\text{ if }x\geq1 \\2,&\text{ if }x\in(-1,1)\\ -2x,&\text{ if }x<-1\end{cases} $$ así que $$ g(x)=|x-1|+|x+1|-mx-1=\begin{cases} 2x-mx-1,&\text{ if }x\geq1 \\2-mx-1,&\text{ if }x\in(-1,1)\\ -2x-mx-1,&\text{ if }x<-1\end{cases} $$ Para $g(x)=0$ que necesitamos:

1. si $x\geq1$ , $(2-m)x-1=0$ requiere $1/(2-m)\geq1$ para tener un cero, es decir $1\leq m<2$ .
2. si $x\in(-1,1)$ , $2-mx-1=0$ es decir $mx=1$ . Esto es $x=1/m\in(-1,1)$ Así que $|m|>1$ .
3. si $x<=1$ , $(-2-m)x-1=0$ es $x=1/(-2-m)$ como $x\leq-1$ Esto es $1/(-2-m)\geq1$ es decir $-2<m\leq-1$ .

En conclusión: si $|m|<1$ No hay solución posible. Si $m=1$ hay una única solución (del caso 1); si $m=-1$ hay una única solución (del caso 3); si $|m|\in(1,2)$ Hay una solución del caso 2 y otra de los casos 1 y 3.

En definitiva, solución única si y sólo si $|m|=1$ .

(es mucho más fácil entender todo esto si se hace un dibujo de $|x-1|+|x+1|$ y de $mx+1$ )

Answer 2

Método 1: Dibuja una gráfica para encontrar la respuesta y luego demuestra que tu respuesta es válida.

Método 2: Resuelve la ecuación en los distintos casos

• $x \le -1$ (para que $|x+1|=-(x+1)$ y $|x-1|=-(x-1)$ )
• $-1 \le x \le 1$ (para que etc.)
• $x \ge 1$ (etc.)

A continuación, juegue con los valores de $m$ para forzar que sólo una solución sea válida.