Bracket de Lie de campos vectoriales en la notación de índice abstracto de Penrose

Question

En el notación de índice abstracto de Penrose , sirven como marcadores de posición para indicar el tipo de un campo tensorial. Por ejemplo, $X^i$ denota un campo vectorial. Cuál es la notación comúnmente aceptada para el corchete de Lie de dos campos vectoriales $X^i$ y $Y^j$ ? Claramente, $[X^i, Y^j]^k$ no funciona, porque esto denotaría un $3$ -contravariante. Algo así como $[ \cdot, \cdot]_{ij}^{\ \ k} X^i Y^j$ funcionaría pero tiene un aspecto extraño.

Answer 1

Penrose-Rindler lo escriben $X^i\nabla_iY^j-Y^i\nabla_iX^j$ .

Answer 2

Creo que es estándar en la literatura de física matemática escribir esto como $[X,Y]^k$ . Toda la expresión " $[X,Y]$ "es un nuevo vector y $k$ es su índice.