Demostrando que este espacio cociente es un espacio de Hausdorff

Question

Definir $S^1 = \{x \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 = 1 \}$ . Definir la relación de equivalencia $\sim$ de la siguiente manera: $(x,y) \sim (x',y')$ si y sólo si $y = y'$ . Ahora demuestre que el espacio cociente $X/\sim$ con la topología del cociente es un espacio de Hausdorff.

Mi enfoque:

Definir $q: S^1 \rightarrow X/\sim$ como el mapa canónico, entonces $q$ es un mapa cociente. Sabemos que $S^1$ es un espacio de Hausdorff, ya que $S^1 \subset R^2$ . Ahora dejemos que $x,y \in X/\sim$ con $x\neq y$ . Tenemos $q^{-1}(x) \neq q^{-1}(x)$ . Debido a la propiedad Hausdorff de $S^1$ existen subconjuntos abiertos $U, V$ tal que $q^{-1}(x) \in U$ y $q^{-1}(y) \in V$ con $U \cap V = \emptyset$ .

Ahora me gustaría decir que $q(U)$ y $q(V)$ son los subconjuntos abiertos tales que $x \in q(U)$ y $y \in q(V)$ y $q(U) \cap q(V) = \emptyset$ . Sin embargo, $q(U)$ está abierto si $q^{-1}(q(U))$ está abierto y no estoy seguro de que pueda decir $q^{-1}(q(U)) = U$ .

La pregunta: ¿estoy en el camino correcto y cómo puedo terminar esto?

Answer 1

Tenga en cuenta que $(x,y)\sim(x',y')$ implica $$x^2+y^2 = (x')^2 + y^2 = 1, $$ de la cual $x^2 =(x')^2$ . Sea $\pi:S^1\to S^1/\sim$ sea el mapa de proyección canónica, entonces $$\pi(x,y) = \{(x,y),(-x,y) \}. $$ Ahora bien, si $\pi(x,y)\ne \pi(x',y')$ tenemos $y\ne y'$ , por lo que como $S^1$ es Hausdorff como subespacio cerrado de $\mathbb R^2$ existen vecindades disjuntas $U, U', V, V'$ de $(x,y), (x',y'), (-x,y), (-x,y')$ en $S^1$ . Por definición de la topología de cociente, $\pi(U\cup V)$ y $\pi(U'\cup V')$ son vecindades de $\pi(x,y), \pi(x,y')$ y estos son disjuntos por construcción. De ello se deduce que $S^1/\sim$ es Hausdorff.

Answer 2

Toma la diagonal $\;\Delta\;$ en el espacio del cociente:

$$\Delta=\left\{\,\left((x,y),\,(x,y)\right)\in X/\sim\,\right\}$$

y supongamos que tenemos una secuencia $\;\left\{\,((x_n,y_n),(x_n,y_n))\,\right\}\subset\Delta\;$ que converge en $\;X/\sim\;$ . Queremos demostrar que el límite también está en $\;\Delta\;$ ...pero esto es trivial ya que cualquier conjunto de representantes de las clases de equivalencia en $\;\Delta\;$ pueden verse como elementos de la diagonal de $\;\Bbb R^2\times\Bbb R^2\;$ que es cerrado ya que el plano es Hasudorff, y por tanto el límite también está en la diagonal.