Potencial complejo

Question

Un fluido incompresible e invisible llena un cilindro circular largo de radio a. Demuestre que si existe un vórtice de línea de circulación $2\pi \Gamma$ paralelo al eje del cilindro y a una distancia $b (< a)$ de ella, girará alrededor del eje con una velocidad constante $(\Gamma b)/(a^2b^2)$ .

Así que sé que tenemos un vórtice y el potencial complejo es $-(i\Gamma/2\pi)*\ln(z)$

ya que se nos da la velocidad que es $w'(z)$ Entonces, ¿cómo podríamos mostrar todo esto? ¿Por dónde empezaríamos? ¿Empezaríamos por integrar $w'(z)$ ? o podríamos empezar con un par de vórtices dentro del cilindro?

Answer 1

Orienta el sistema de coordenadas para que el vórtice dentro del cilindro esté en el punto $z_b =b +i\cdot 0$ en el eje real. Para satisfacer la condición de ausencia de flujo en la superficie del cilindro, el campo de velocidad en el interior del cilindro puede obtenerse mediante la fórmula método de las imágenes con otro vórtice de fuerza igual y opuesta situado en el punto $z_c =c + i \cdot 0$ donde $bc = a^2$ .

No hay movimiento autoinducido del vórtice en $z_b$ . El movimiento de este vórtice se debe al campo de velocidad producido por el vórtice imagen solo con potencial

$$f_c(z) = \frac{i2 \pi\Gamma}{2\pi}\log (z - z_c),$$

y la velocidad compleja

$$u-iv =-\frac{d f_c}{dz} = -i \Gamma \frac{1}{z - z_c}$$

La velocidad en el lugar $z_b$ es

$$u(z_b) - i v(z_b) = -i \Gamma \frac{1}{z_b - z_c} = i\frac{\Gamma}{c - b} = i\frac{\Gamma b}{bc - b^2} = i \frac{\Gamma b}{a^2- b^2}$$

De ahí que el vórtice en $z_b$ se mueve con una velocidad dada por el módulo

$$|u(z_b) - i v(z_b)| = \frac{\Gamma b}{a^2 - b^2}$$