Probar la aditividad del determinante en cada argumento

Question

Estoy leyendo a través de Treil Álgebra lineal mal hecha y tengo una pregunta sobre la prueba de una observación que deja como ejercicio en la p.77. Aquí está en mis propias palabras:

Consideremos una función sobre $n$ vectores $D(v_1,v_2,\ldots,v_n)$ . Tiene las siguientes propiedades.

1. $D(v_1,\ldots,\alpha v_k,\ldots,v_n) = \alpha D(v_1,\ldots,v_k,\ldots,v_n)$ para cualquier $\alpha \in \mathbb{F}$ y
2. $D(v_1,\ldots,v_j + \alpha v_k, \ldots, v_k, \ldots, v_n) = D(v_1,\ldots,v_j,\ldots,v_k,\ldots,v_n)$ para $j \neq k$ y cualquier $\alpha$ .

Usando sólo estas dos propiedades, se supone que debo demostrar que $D$ es aditivo en cada argumento, es decir,

$$D(v_1,\ldots,u_k + v_k, \ldots, v_n) = D(v_1,\ldots,u_k,\ldots,v_n) + D(v_1,\ldots,v_k,\ldots,v_n).$$

Hasta ahora, he comprobado que la aditividad se mantiene para $u_k \in \operatorname{span}(\{v_i\}_{i=1, i\neq k}^n)$ y $u_k = \alpha v_k$ con la esperanza de comprobar cada caso de $u_k$ o algo así, pero no creo que eso vaya a ninguna parte. Creo que hay algo inteligente que no estoy viendo - ¡se agradecen los consejos o soluciones!

Answer 1

¡Estás cerca! Sólo tienes que demostrar que no puede pasar nada más que los casos que has cubierto.

Primero establecemos una propiedad bien conocida del determinante a partir de las dos propiedades. Consideremos cualquier $v_1,\ldots, v_n$ . Supongamos que la dimensión de $\operatorname{span}\{v_i\}$ es menor que $n$ . Entonces afirmamos $D(v_1,\ldots v_n)=0$ .

Estos $n$ vectores son linealmente dependientes. Aplicando repetidamente la propiedad 2, se puede demostrar que $D(v_1,\ldots, v_n)=D(0,v_2,\ldots, v_n)$ y luego aplicar la propiedad 1 para demostrar que esta cantidad es cero.

Ahora volvemos a su pregunta. Si la dimensión de $\operatorname{span}\{v_i\}_{i \ne k}$ es menor que $n-1$ entonces lo anterior muestra que la afirmación que se quiere mostrar se convierte en $0=0+0$ . Así que de aquí en adelante asumimos $\operatorname{span}\{v_i\}_{i \ne k}$ tiene dimensión $n-1$ .

Si $u_k$ se encuentra en el tramo de $\{v_i\}_{i\ne k}$ entonces $D(v_1,\ldots, u_k,\ldots, v_n)=0$ y se puede demostrar que $D(v_1,\ldots, u_k+v_k,\ldots, v_n)=D(v_1,\ldots, v_k, \ldots, v_n)$ utilizando la segunda propiedad.

Si $v_k$ se encuentra en el tramo de $\{v_i\}_{i\ne k}$ Un argumento similar funciona.

Por último, si ninguno de los dos $u_k$ ni $v_k$ se encuentran en el lapso de $\{v_i\}_{i\ne k}$ entonces $u_k=\alpha v_k$ para algunos $\alpha$ [editar: ver corrección en los comentarios] (porque $\operatorname{span}\{v_i\}_{i \ne k}$ tiene dimensión $n-1$ ), y ha mostrado este caso.