Límite de la función en el conjunto conectado en $\mathbb{R}$

Question

Dejemos que $C$ sea un conjunto conexo en $\mathbb{R}$ . Sea $f:C\rightarrow \mathbb{R}$ sea una función. Sea $p$ sea un punto límite de $C$ .

Aquí,

$\phi(q)$ : Para cada secuencia $\{p_n\}$ en $C$ donde $p_n \rightarrow p$ y $p_n != p$ , $\lim_{n\to\infty} f(p_n) = q$

$\Phi(q)$ : $\forall \epsilon >0, \exists \delta>0$ tal que $\forall x\in C, 0<d(x,p)<\delta \Rightarrow d(f(x),q)$

Entonces, es $\phi(q) \Rightarrow \Phi(q)$ demostrable, $\forall q\in \mathbb{R}$ ?

Hasta ahora, he demostrado que existe una secuencia $\{p_n\}$ en $C$ tal que $p_n != p$ y $p_n \rightarrow p$ .

Editar; Para aclarar la definición de límite y $q$ He editado mi mensaje original.

Answer 1

Si exigimos que siempre que $p\in C$ , $f(p)=q$ entonces requerimos que la función sea secuencialmente continua en todas partes . En cuyo caso podemos demostrar la continuidad de $f$ , como muestra Brian en La continuidad y el axioma de elección .

Si no lo requerimos, entonces la función que construí en Conjunto conectado en $\mathbb{R}$ y construir una secuencia hasta un punto límite es un contraejemplo. En concreto, si $D$ es un conjunto denso [infinito] Dedekind-finito de reales, su función indicadora es un contraejemplo.

Tenga en cuenta que esta función es no secuencialmente continua, a pesar de que no hay secuencias pueden cumplir $D$ más que finamente muchas veces. Si $a\in D$ entonces hay una secuencia de números racionales $q_n$ acercándose a $a$ y casi todos ellos no están en $D$ Por lo tanto $$\lim_{n\to\infty}f(q_n)=0\neq f(a)=f\left(\lim_{n\to\infty} q_n\right)$$

Así que no hay contradicción con el primer párrafo.