Demostrar que $X$ es uno de los dos conjuntos

Question

Dejemos que $X,Y\ne\emptyset$ sean subconjuntos de $\mathbb{R}$ tal que $X\cup Y=\mathbb{R}$ y cada elemento en $X$ es menor que cada elemento de $Y$ . Demostrar que existe $a\in\mathbb{R}$ tal que $X$ es uno de los dos conjuntos: $\{x\in\mathbb{R}:x\le a\}$ o $\{x\in\mathbb{R}:x< a\}$ .

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Supongamos que para cualquier $a\in\mathbb{R}$ tenemos $X\ne \{x\in\mathbb{R}:x\le a\}$ y $X\ne\{x\in\mathbb{R}:x< a\}$ . Desde $X\cup Y=\mathbb{R}$ para cada $a$ tenemos $\{x\in\mathbb{R}:x\le a\} \subset Y$ . Desde $X\ne\emptyset$ Hay un poco de $\hat x \in X$ y $\hat x>a$ contradicción.

Sé que es algo muy elemental, pero por eso pregunto si mi "prueba" es correcta. A veces las cosas más fáciles son las más difíciles. Gracias por cualquier aportación.

Answer 1

Esto no es correcto. ¿Cómo sabes que para cada $a$ , $\{x\in\mathbb{R}:x\leq a\}\subset Y$ ? Escribir $A=\{x\in\mathbb{R}:x\leq a\}$ Todo lo que sabes es que $A$ no es igual a $X$ , pero eso no implica obviamente $A$ tiene que estar contenida en $Y$ . Quizás $X$ contiene todos los $A$ y también más puntos que no están en $A$ . O tal vez $X$ se cruza con $A$ pero no lo contiene todo.

Answer 2

Podrías idear una prueba como la siguiente: Supongamos que $X \neq (-\infty,a)$ y $X \neq (-\infty,a]$ . Sea $x_0 \in X$ sea arbitraria. Entonces, por hipótesis, cada elemento de $Y$ es mayor que $x_0$ Así que $Y \subset (x_0,\infty)$ . Esto significa que $Y$ está acotada por debajo, por lo que existe $y_0 = \inf Y$ . Por hipótesis tenemos que cada elemento de $X$ es menor o igual que $y_0$ . Así, $X \subset (-\infty,y_0]$ . Desde $X$ no es de la forma $(-\infty,a)$ o $(-\infty,a]$ existe un elemento $z<y_0$ que no está en $X$ .

Desde $X,Y$ forman una partición de $\Bbb{R}$ debemos tener $z \in Y$ . El hecho de que $z<y_0 =\inf Y$ da una contradicción.

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Por supuesto, todo esto puede transformarse en una prueba que no se base en la contradicción.

Por hipótesis, cada elemento de $Y$ es mayor que $x_0$ Así que $Y \subset (x_0,\infty)$ . Esto significa que $Y$ está acotada por debajo, por lo que existe $y_0 = \inf Y$ . Por hipótesis tenemos que cada elemento de $X$ es menor o igual que $y_0$ . Así, $X \subset (-\infty,y_0]$ . Desde $y_0 = \inf Y$ se deduce que $X = (-\infty,y_0)$ o $X = (-\infty,y_0]$ .