En primer lugar las fórmulas de los productos que has escrito son incorrectas, debería haber sido $$ d(X_tY_t) = X_t \mathrm{d}Y_t + Y_t\mathrm{d}X_t + \mathrm{d}X_t\mathrm{d}Y_t.$$
Sin embargo, hay mucha notación involucrada en lo anterior. Permítanme empezar sin abusar de la notación, para dos procesos Ito $X$ y $Y$ tenemos que $$( \star) \ \qquad X_tY_t = X_0Y_0 + \int_0^t X_s \mathrm{d}Y_s + \int_0^t Y_s \mathrm{d}X_s +[X,Y]_t,$$ donde $[X, Y]$ representa una covariación de dos procesos ( enlace ).
Podemos reescribir la ecuación $( \star) $ como sigue $$\int_0^t \mathrm{d}(X_sY_s) = \int_0^t X_s \mathrm{d}Y_s + \int_0^t Y_s \mathrm{d}X_s +\int_0^t \mathrm{d}[X,Y]_s.$$ Ahora hacemos uso del siguiente abuso de notación $$ \mathrm{d}(XY) = X\mathrm{d}Y + Y\mathrm{d}X + \mathrm{d}X\mathrm{d}Y,$$ donde $\mathrm{d}X\mathrm{d}Y$ denota $\mathrm{d}[X,Y]$ . Esta notación es brillante porque hace que nuestros cálculos sean más rápidos y sigue siendo fácil volver a los formales. En particular, se utiliza mucho en las finanzas cuantitativas. Aquí hay algunas notas donde se pueden encontrar propiedades de la variación cuadrática para los procesos de Ito (sin pruebas) enlace .
