Cortes Dedekind para resolver ecuaciones cuadráticas

Question

Necesito ayuda para resolver una ecuación cuadrática, pero traduciéndola a cortes de Dedekind y utilizando la forma de completar el cuadrado. Primero he resuelto la ecuación de forma habitual para saber dónde tengo que llegar, pero lo de los cortes Dedekind no sé cómo utilizarlo.

La ecuación es: $$x^2 + 6 x + 3 = 0$$

Lo sé: $$x_{1} = -\sqrt{6}-3$$ y $$x_{2} = -3+\sqrt{6}$$ pero tengo que encontrar si hay alguna solución en $\Bbb R$

No estoy seguro de que esta pregunta pueda calificarse de Análisis Real; lo siento.

Answer 1

Puedes notar que una de las raíces es menor que $-3$ y el otro es mayor que $-3$ y el signo de $x^2+6x+3$ es negativo entre estas raíces. Por lo tanto, para la raíz mayor utilice $$A=\{x\mid x\in\mathbb {Q}, x>-3,x^2+6x+3<0\}\cup\{x\mid x\in\mathbb{Q}, x\leq - 3\}$$ Y para la otra raíz utilice $$B=\{x\mid x\in\mathbb {Q}, x<-3,x^2+6x+3>0\}$$

Confirme que ambos conjuntos satisfacen las siguientes propiedades definitorias de un corte Dedekind

• cada uno es un subconjunto propio no vacío de $\mathbb {Q} $
• si un número racional pertenece al conjunto, todos los racionales menores también pertenecen al conjunto
• el conjunto no tiene un miembro máximo, es decir, dado cualquier miembro del conjunto podemos encontrar otro miembro que sea mayor que el miembro dado

Y luego hay que demostrar además que estos conjuntos $A, B$ satisfacen efectivamente la ecuación $x^2+6x+3=0$ . Para ello es necesario saber multiplicar y sumar cortes Dedekind. Esta parte del ejercicio es aburrida y larga.

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El ejercicio general se puede simplificar un poco si se reescribe la ecuación como $(x+3)^2=6$ (completando el cuadrado) y puedes utilizar este aspecto en las pruebas anteriores.