Puntos fijos degenerados aislados

Question

He aquí una pregunta un tanto ingenua: para aplicar el teorema clásico de la holomorfía de Lefschetz, se suele trabajar con biholomorfismos de una variedad compacta compleja cuyos puntos fijos son no degenerados (es decir $1$ no es un valor propio de la diferencial) aunque el trabajo de O'Brian http://www.jstor.org/stable/1998512 permite deshacerse de la suposición de degeneración y calcular explícitamente las multiplicidades en los puntos fijos, siempre que permanezcan aislados.

Sin embargo, no he encontrado ningún ejemplo interesante en el que algunos puntos fijos estén aislados y degenerados. Por ejemplo, esta condición implica (utilizando la linealización de Bochner) que el automorfismo no es de orden finito.

Lo ideal sería construir un ejemplo de este tipo con el colector $X$ satisfaciendo los supuestos adicionales $h^0(X, \, T_X)=h^1(X, \, T_X)=0$ . Un producto finito de $\mathbb{P}^2$ La ampliación a 4 puntos genéricos parece un candidato razonable, pero no estoy seguro de que sea el camino más sencillo para empezar.

Answer 1

Creo que la superficie construida en el Lemma 4 de https://arxiv.org/abs/1609.06391 debería hacer lo que usted quiere. Sin duda hay un ejemplo más sencillo, así que espero que alguien más intervenga.

Es una superficie racional $S$ construido por medio de la explosión de $15$ puntos (cuidadosamente elegidos) en $\mathbb P^2$ . Existe una curva racional suave $C \subset S$ y un automorfismo $\phi : S \to S$ que fija $C$ y restringe a $C$ como el automorfismo $z \mapsto z+1$ en coordenadas adecuadas. En particular, existe un único punto fijo $p$ en $C$ dado por $\infty$ en estas coordenadas. Este mapa actúa trivialmente sobre el espacio tangente $T_p C \subset T_p S$ que da el $1$ -eigenvector que está buscando.

Creo que esto debería tener todas las propiedades que quieres. Hay que comprobar que no hay alguna curva de puntos fijos por $p$ pero estoy bastante seguro de ello. (Tenga en cuenta que $C$ no es una curva de puntos fijos: aunque está mapeada a sí misma, los puntos de $C$ moverse, y sólo $p$ es fijo). El automorfismo es, efectivamente, de entropía positiva, por lo que no es de orden finito, como usted señala.