Dejemos que $G$ sea un grupo de orden impar, y sea $H$ sea un subgrupo de $G$ del índice $5$ . Demostrar que $H$ es un subgrupo normal de $G$ .

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo de orden impar, y sea $H$ sea un subgrupo de $G$ del índice $5$ . Demostrar que $H$ es un subgrupo normal de $G$ .

Una pista: Demuestre que no hay ningún subgrupo de orden $15$ en $S_5$ .

Probé la pista, pero no veo cómo ayuda.

Answer 1

Aquí hay una serie de pistas:

-Supongamos que $H$ no es normal

-Argue que $H$ se autonormaliza en $G$

-Concluir que $H$ tiene exactamente $5$ conjugados en $G$

-Usa esto para construir un homomorfismo de $G$ a un subgrupo transitivo de $S_5$

-Usando la pista, determina cuál es la imagen de este homomorfismo

-Derivar una contradicción

Answer 2

Además de las cosas que se han contestado aquí, sólo quiero añadir ésta.

Propuesta (Van Der Waall, Bioch) Deja $G$ sea un grupo finito y $H$ un subgrupo de primos índice $p$ con gcd $(|G|,p-1)=1$ . Entonces $G' \subseteq H$ .

Tenga en cuenta que esto implica que $H \unlhd G$ y que, de hecho, basta con demostrar que $H$ es normal, ya que entonces $G/H \cong C_p$ es abeliana.

Prueba En primer lugar, podemos suponer por inducción que $|G|$ que $H$ no tiene núcleo, es decir, el núcleo $_G(H)=\bigcap_{g \in G}H^g=1$ . Esto significa que $G$ puede ser incrustado homomórficamente en $S_p$ . Sea $P \in Syl_p(G)$ y observe que, debido a que $|S_p|=p \cdot (p-1) \cdots \cdot 1$ , $|P|=p$ . Por el $N/C$ -Teorema, $N_G(P)/C_G(P)$ se incrusta en Aut $(P) \cong C_{p-1}$ . Por la suposición gcd $(|G|,p-1)=1$ , obtenemos que $N_G(P)=C_G(P)$ . Desde $P$ es abeliano tenemos $P \subseteq C_G(P)$ De ahí que $P \subseteq Z(N_G(P))$ . Ahora podemos aplicar la Normal de Burnside $p$ -que implica que $P$ tiene un complemento normal $N$ Es decir $G=PN$ y $P \cap N=1$ . Tenga en cuenta que $|G/N|=p$ .

Mira la imagen de $H$ en $G/N$ . Entonces $G=HN$ o $HN=N$ . En este último caso $H \subseteq N$ y $|G:H|=|G:N|=p$ De ahí que $H=N$ y hemos terminado si podemos refutar el primer caso. Si $G=HN$ entonces $|G:H \cap N|=|G:N|\cdot|N:H \cap N|=|G:N|\cdot |G:H|=p \cdot p=p^2$ , contradiciendo el hecho de que $|G| \mid |S_p|$ . La prueba está ahora completa.

Corolario 1 Dejemos que $G$ sea un grupo finito y que $H$ sea un subgrupo con $|G:H|=p$ El El más pequeño primo que divide el orden de $G$ . Entonces $G' \subseteq H$ . En particular, $H$ es normal.

Corolario 2 Dejemos que $G$ sea un grupo finito y que $H$ sea un subgrupo con $|G:H|=p$ y gcd $(|H|,p-1)=1$ . Entonces $H$ es normal.

Obsérvese que este último resultado convierte en realidad un resultado bien conocido para $p=2$ ¡! Por último, para divertirse:

Corolario 3 Dejemos que $G$ sea un grupo finito de impar orden y $H$ un subgrupo con $|G:H|=65537$ (o cualquier primo de Fermat). Entonces $H$ es normal.

Answer 3

Dejemos que $H$ actúan sobre los cosets izquierdos de $H$ por multiplicación a la izquierda (es decir, $h*(xH)=(hx)H$ .) Consideremos las órbitas de esta acción. Ninguna órbita puede tener un tamaño par ya que la órbita debe dividir el orden de G, que es impar. Por lo tanto, los tamaños de las órbitas son 1, 3 o 5. Claramente H tiene la órbita 1, por lo que esto significa que o bien las órbitas son todas de tamaño 1, o bien hay dos órbitas de tamaño 1 y una órbita de tamaño 3. En cualquier caso, hay otra órbita gH de tamaño 1, lo que implica que g normaliza a H, lo que significa que el normalizador de H es estrictamente un supergrupo de H. Pero entonces Lagrange implica que el normalizador de H es exactamente G. Esto significa que H es normal.