$\alpha > \omega$ es un $\epsilon$ -número si $\beta^\gamma < \alpha, \forall \beta, \gamma < \alpha$

Question

Pruébalo: $\alpha > \omega$ es un $\epsilon$ -número si $\beta^\gamma < \alpha, \forall \beta, \gamma < \alpha$ .

De izquierda a derecha:

si $\omega >\beta: \alpha=\omega^\alpha> \beta^\gamma$

si $\omega =\beta: \alpha=\omega^\alpha> \omega^\gamma=\beta^\gamma$

si $\omega <\beta: \alpha=\omega^\alpha> \omega^\gamma$ ¿Y entonces?

¿Puede alguien probarlo por completo?

Answer 1

$(\Rightarrow)$ Dejemos que $\alpha>\omega$ ser un $\epsilon$ -Número. Para cualquier ordinal $\beta$ definamos el grado de $\beta$ , $\deg(\beta)$ el más alto $\gamma$ que es un exponente del Forma normal de Cantor de $\beta$ Así, por ejemplo, un ordinal $\beta$ es un $\epsilon$ -número si y sólo si $\deg(\beta)=\beta$ .

Probemos primero $\forall \beta,\gamma<\alpha[\beta+\gamma<\alpha]$ . Como $\alpha=\omega^\alpha$ se deduce que $\deg(\beta),\deg(\gamma)<\alpha,$ sin embargo, debido a este , $\deg(\beta+\gamma)=\max(\deg(\beta),\deg(\gamma))<\alpha,$ en consecuencia, $\beta+\gamma<\alpha$ .

Ahora demostremos $\forall \beta,\gamma<\alpha[\beta\cdot\gamma<\alpha]$ . Tenemos, utilizando este que $\deg(\beta\cdot\gamma)\leq\max(\deg(\beta)+\deg(\gamma),\deg(\gamma)+\deg(\beta))<\alpha$ ya que $\deg(\beta),\deg(\gamma)<\alpha$ y lo que se mostró arriba.

Ahora veamos $\forall \beta,\gamma<\alpha[\beta^\gamma<\alpha].$ Dejemos que $\beta'=\deg(\beta)$ . Entonces, como $\alpha=\omega^\alpha$ , $\beta<\alpha$ pero claramente $\alpha$ es el límite, por lo que $\beta'+1<\alpha$ . Pero $\beta^\gamma\leq (\omega^{\beta'+1})^\gamma=\omega^{(\beta'+1)\cdot\gamma}<\omega^\alpha=\alpha$ ya que $(\beta'+1)\cdot\gamma<\alpha$ por lo mostrado anteriormente y la unicidad de la forma normal de Cantor.

$(\Leftarrow)$ Como $\alpha>\omega$ En particular $\omega^\gamma<\alpha$ para todos $\gamma<\alpha$ Por lo tanto $\omega^\alpha=\lim_{\gamma\to\alpha}\omega^\gamma\leq\alpha,$ pero claramente $\omega^\alpha\geq\alpha$ .