En las categorías de modelos combinatorios, los límites finitos conmutan con colímites de homotopía filtrada (suficientemente grandes). Supongamos, para simplificar, que la categoría combinatoria modelo es simplicial y que las cofibraciones generadoras tienen $\lambda$ -Dominio presentable y codominio. En este caso $\lambda$ -Los colímites filtrados son colímites de homotopía. Supongamos, además, que la categoría del modelo subyacente localmente presentable es $\lambda$ -Localmente presentable. Entonces $\lambda$ -Los colímetros filtrados se conmutan con $\lambda$ -Los límites son pequeños. Los límites finitos son $\lambda$ -pequeño para todos $\lambda$ .
Digamos que la categoría $J$ que indexa el límite de homotopía es finito si tiene un número finito de objetos y morfismos, y el diagrama $EJ$ de conjuntos simpliciales que sirven como reemplazo cofibrante de los diagramas constantes de puntos indexados por $J$ en la estructura del modelo proyectivo sobre ${\cal S}^J$ tiene un conjunto simplicial finito en cada entrada. Por ejemplo, un grupo finito no es una categoría finita según esta definición. Un límite de homotopía finito es un límite de homotopía sobre un diagrama finito.
Supongamos que $\cal M$ es un simplicial $\lambda$ -categoría de modelo combinatoria y $F\colon J\to \cal M$ un diagrama finito. Entonces $\mathrm{holim}_J F$ puede calcularse como un límite ponderado con el peso $EJ$ En otras palabras, se trata de una construcción final: $$ \mathrm{holim}_J F = \mathrm{hom}(EJ, F), $$ que es un límite ponderado finito que conmuta con $\lambda$ -colímites filtrados, por lo tanto, conmutando con $\lambda$ -colímite de homotopía filtrada. En particular, si $\lambda=\aleph_0$ entonces los colímites homotópicos filtrados conmutan con los límites homotópicos finitos.
