Doble código Reed-Solomon generalizado

Question

Necesito demostrar que $GRS_{n,k}(\alpha,\mathbb{1})^{\perp}=GRS_{n,n-k}(\alpha,\alpha)$ , donde $\alpha=(1,a,\ldots,a^{n-1})$ , $a$ es una primitiva $n$ -raíz de la unidad, $\mathbb{1}=(1,1,\ldots,1)$ .

Así que, para demostrar esto, creo que basta con mostrar que $c\cdot c'=0$ para todos $c\in GRS_{n,k}(\alpha,\mathbb{1})$ y para todos $c'\in GRS_{n,n-k}(\alpha,\alpha)$ . Estoy un poco atascado en cómo enfocar esto, ¿debo ir con la matriz generadora o algo más?

Answer 1

Claramente

$$c=(1\cdot f(1),1 \cdot f(a),1\cdot f(a^2),\cdots,1\cdot f(a^{n-1}))=(f(1),f(a),f(a^2),\cdots, f(a^{n-1})),$$ y $$c'=(1\cdot g(1),a \cdot g(a),a^2\cdot g(a^2),\cdots,a^{n-1}\cdot g(a^{n-1}))=(g(1),ag(a),a^2g(a^2),\cdots, a^{n-1}g(a^{n-1})).$$ Donde $f$ tiene un grado como máximo $k-1$ y $g$ tiene un grado como máximo $n-k-1.$

Así que el producto tiene grado como máximo $n-2.$ Entonces hay que demostrar que el producto es realmente el polinomio cero, utilizando la interpolación de Lagrange. Se puede consultar la muy útil teoría de la codificación de John Hall notas (Capítulo 5) en el Estado de Michigan, si necesita más detalles.