Si $X=\{0,1\}$ existe una medida externa $\mu^*$ en $X$ tal que $\mu^* \neq \mu^+$

Question

Antecedentes

Dejemos que $\mu^*$ sea una medida externa en $X$ , $\mathcal{M}^*$ le site $\sigma-$ álgebra de todos $\mu^*$ conjuntos medibles, $\overline{\mu}=\mu^*\bigg|_{\mathcal{M}^*},$ y $\mu^+$ la medida exterior inducida por $\overline{\mu}$ .

Pregunta

Si $X=\{0,1\}$ existe una medida externa $\mu^*$ en $X$ tal que $\mu^* \neq \mu^+$ .

Intento

He intentado utilizar la medida de recuento y la medida exterior $\mu^*(A)=\sum_{n\in A} n$ pero en ambos casos me parece que $\mathcal{M}^*=\mathcal{P}(X)$ . Espero utilizar el siguiente resultado:

$\mu^*(E)=\mu^+(E)$ si $\exists A \in \mathcal{M}^*$ con $E\subset A$ y $\mu^*(E)=\mu^*(A)$

Para lo cual necesito una medida tal que $\mathcal{M}^*$ es un subconjunto propio de $X$ .

Answer 1

Como $X = \{0,1\}$ No hay mucha libertad para $\mu^*$ . Porque $\mu^*$ es una medida externa, estamos obligados por la subaditividad a satisfacer

\begin{equation} \mu^*(A) \leq \mu^*(X) \leq \mu^*(\{0\}) + \mu^*(\{1\}). \end{equation} donde $A = \{0\}$ o $\{1\}$ .

Supongamos que elegimos $\mu^*(X), \mu^*(\{0\})$ y $\mu^*(\{1\})$ de tal manera que tengamos estricto desigualdades:

\begin{align} \mu^*(A) < \mu^*(X) < \mu^*(\{0\}) + \mu^*(\{1\}) \end{align} Entonces tampoco $\{0\}$ ni $\{1\}$ son $\mu^*$ -conjuntos medibles.

Por lo tanto, cuando tratamos de aproximar $\{0\}$ o $\{1\}$ por $\mu^*$ -conjuntos medibles, es decir, cuando calculamos \begin{equation} \mu^{+}(A) = \inf\{\sum_{j = 1}^{\infty}\mu^*(E_j)\,:\, E_j \in \mathcal{M}^*, A \subset \bigcup_{j = 1}^{\infty}E_j\} \end{equation} donde $A = \{0\}$ o $\{1\}$ la cobertura será "bastante mala", es decir, "lo mejor que podemos hacer" es $\mu^+(A) = \mu^*(X) > \mu^*(A)$ .

Dicho todo esto, la discusión anterior debería ser información más que suficiente para construir un ejemplo concreto en el que $\mu^* \neq \mu^+$ .