Demostrar la desigualdad utilizando el muestreo opcional

Question

Demostré la desigualdad de abajo usando la identidad de Wald y alguna manipulación complicada pero fácil, pero no puedo hacerlo usando la sugerencia de la fuente: "Pista: ¡muestreo opcional!"

Este es el problema:

$X_1,X_2,\ldots$ son i.i.d. con $P(X_1>0)=1$ . Sea $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$ y para $x>0$ definir:

$$T_x=min\{n\geq1:S_n\geq x\}$$

Pruébalo:

$$\frac12E[T_x]\leq\frac{x}{E[\min(X_1,x)]}\leq E[T_x]$$

---

Mi solución (mostrada aquí parcialmente):

Reescribir como: $$x\leq E[\min(X_1,x)]E[T_x]\leq 2x$$

La expresión del medio es igual a $$E\left[\sum_{i=1}^{T_x}\min(X_i,x)\right]$$ por la identidad de Wald. Por lo tanto, podríamos demostrar:

$$x\leq \sum_{i=1}^{T_x}\min(X_i,x)\leq 2x,$$

que no es tan difícil.

---

Ahora bien, ¿cómo lo hacen utilizando el muestreo opcional?

Answer 1

La adaptación de este

Prueba de la identidad de Wald mediante un muestreo opcional ,

puede funcionar.

De hecho, es un movimiento inteligente para conocer la identidad de Wald.
Si no es así, hay que derivarlo utilizando OST, para establecer la igualdad $$ E\left(\sum_{i=1}^{T_x} \min(X_i,x)\right) = E(T_x) E(\min(X_1,x)). $$
Entonces se procede a la solución, tal y como has mostrado.