Antiderivada de $\arctan(-x^2)$

Question

Como dije en el título estoy tratando de encontrar una antiderivada de $$f(x)=\arctan(-x^2)$$

Soy consciente de que, por ejemplo, WolframAlpha puede encontrar uno, pero no tengo ni idea de cómo hacerlo a mano. ¿Puede alguien darme una pista?

Answer 1

Si se integra por partes, se obtiene $$ \int\arctan(-x^2)\,dx=x\arctan(-x^2)-\int x\frac{-2x}{1+x^4}\,dx $$ Ahora encuentra la descomposición de la fracción parcial $$ \frac{2x^2}{1+x^4}= \frac{Ax+B}{x^2+x\sqrt{2}+1}+ \frac{Cx+D}{x^2-x\sqrt{2}+1} $$ y el resto es estándar.