Pregunta sobre mapeos conformes

Question

La pregunta: Que $\ $ sea un dominio simplemente conectado Sea $\phi_{1}$ y $\phi_{2}$ sean mapas propios conformes en $\ $ . Sea $P, Q$ sean puntos distintos en $\ $ Si $\phi_{1} (P) = \phi_{2}(P)$ y $\phi_{1} (Q) = \phi_{2}(Q)$ , demuestran que $\phi_{1} = \phi_{2}$ .

Mi intento: Quiero tratar de mostrar esto de una o dos maneras. La primera forma es considerar la función $h(z) = \phi_{1} -\phi_{2}$ y tratar de demostrar que $h(z) = 0$ en $\ $ pero estoy teniendo problemas para trabajar en ese enfoque. La segunda idea que tuve fue considerar el mapa conformado al disco de la unidad a sí mismo. Era un mapa como este:

$$_{a}(z) = \frac{z -a}{1-\bar{a}z}.$$

n lugar de a, iba a sustituirlos por puntos $\phi_{1} (P), \phi_{1}(Q)$ y tratar de encontrar una relación entre las dos funciones. No estoy seguro de estar en el camino correcto aquí. Quiero utilizar la composición de funciones pero no estoy seguro de cómo hacerlo. ¿Podéis darme alguna pista sobre cómo resolver este problema? Gracias, chicos.

Answer 1

En el caso $\Omega = \Bbb C$ se puede utilizar que los únicos auto-mapas conformes de $\Bbb C$ son funciones lineales, y una función lineal está determinada únicamente por los valores en dos puntos distintos.

Si no es así, transportar el problema al disco de la unidad es el enfoque correcto.

$\phi = \phi_2^{-1} \circ \phi_1$ es un auto-mapa conforme de $\Omega$ con dos puntos fijos distintos $P$ y $Q$ y el objetivo es demostrar que $\phi$ es la función de identidad.

El teorema del mapa de Riemann da un mapa conforme $h$ de $\Omega$ al disco de la unidad con $h(P) = 0$ y $h'(P) > 0$ . Entonces $f = h \circ \phi \circ h^{-1}$ es un automapa conformado del disco unitario con $f(0) = 0$ , $f'(0) > 0$ y el punto fijo adicional $h(Q)$ .

Utilice el lema de Schwarz para concluir que $f$ (y por lo tanto $\phi$ ) es la función de identidad.