Dejemos que $A$ sea un elemento del conjunto de todos los subconjuntos contables de $\mathbb{R}$ que denotaremos simplemente por $\mathcal{P}_{\le\omega}(\mathbb{R})$
Afirmación : $\mathcal{P}_{\le\omega}(\mathbb{R})\preccurlyeq\,^\omega\mathbb{R}$
Identificaremos $A$ con un $\omega$ -secuencia de elementos de $\mathbb{R}$ es decir, un elemento de $^\omega\mathbb{R}$ de la siguiente manera:
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Si $A$ es infinito, dejemos que $\{a_n|\;n\in\omega\}$ sea una enumeración de $A$ . Entonces está claro que la asignación $A\longmapsto(a_n)_{n\in\omega}$ es inyectiva.
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Si $A$ es finito, digamos $A=\{a_0,\dots,a_n\}$ , entonces definimos el $\omega$ -secuencia $(b_k)_{k\in\omega}$ definido por:
$$b_k=\begin{cases} a_k\qquad\qquad\text{if }k\le n \\ a_n+1\qquad\text{ if }k>n \end{cases}$$
Y en este caso, también está claro que la correspondencia $A\longmapsto(b_k)_{k\in\omega}$ es inyectiva.
En cualquier caso, $\mathcal{P}_{\le\omega}(\mathbb{R})\preccurlyeq\,^\omega\mathbb{R}$
Ahora, por un lado tenemos que $\mathbb{R}\preccurlyeq\mathcal{P}_{\le\omega}(\mathbb{R})$ porque la función $r\in\mathbb{R}\longmapsto\{r\}\in\mathcal{P}_{\le\omega}(\mathbb{R})$ es obviamente inyectiva.
Por otro lado, $\mathcal{P}_{\le\omega}(\mathbb{R})\preccurlyeq\mathbb{R}$ ya que $\;\mathcal{P}_{\le\omega}(\mathbb{R})\preccurlyeq\,^\omega\mathbb{R}\;$ y $\;^\omega\mathbb{R}\preccurlyeq\mathbb{R}$ De hecho, $|^\omega\mathbb{R}|=\big(2^{\aleph_0}\big)^{\aleph_0}=2^{\aleph_0\times\aleph_0}=2^{\aleph_0}=|\mathbb{R}|$
A partir del teorema de Cantor-Bernstein, obtenemos que $|\mathcal{P}_{\le\omega}(\mathbb{R})|=|\mathbb{R}|=2^{\aleph_0}$
