Demostrar que un decimal repetido es igual a una fracción

Question

Tengo problemas con esta pregunta: Demostrar que 0,16363636...=9/55, utilizando series infinitas. Agradecería cualquier ayuda que me puedan dar. Gracias.

Answer 1

Puedes hacerlo: \begin{align*} 0.1636363\cdots &= \frac{1}{10} + \biggl[ 63 \times 10^{-3} + 63\times 10^{-5} + 63 \times 10^{-7} + \cdots\biggr] \\ &= \frac{1}{10} + 63 \cdot \Bigl[ 10^{-3} + 10^{-5} + 10^{-7} + \cdots \Bigr] \\ &= \frac{1}{10} + 63 \cdot \frac{10^{-3}}{1-10^{-2}} \\ &= \frac{1}{10} + \frac{7}{110}=\frac{9}{55}\end{align*}