Estoy leyendo formas modulares del libro de J.P.Serre, donde me encontré con una función compleja que satisface la propiedad $f(z+1)=f(z)$ . A continuación, se menciona que podemos expresar $f$ en función de $e^{2\pi iz}$ . Puedo ver que cualquier función expresada como función de $e^{2\pi iz}$ siempre satisface la propiedad anterior, pero ¿cómo es la inversa?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Funciones que son $1$ -periódica como ésta puede considerarse como funciones sobre $\Bbb{C} / \sim$ , donde $\sim$ es la relación de equivalencia $$z \sim w \iff z - w \in \Bbb{Z}.$$ Si te gusta, $\Bbb{C}/ \sim$ es el cociente de $(\Bbb{C}, + )$ por el subgrupo normal $(\Bbb{Z}, +)$ .
Dejemos que $g(z) = e^{2\pi i z}$ es una inyección bien definida de $\Bbb{C} / \sim$ en $\Bbb{C}$ . Está bien definido porque es $1$ -periódico. Es inyectiva porque $$e^{2 \pi i z} = e^{2\pi i w} \iff e^{2\pi i (z - w)} = 1 \iff z - w \in \Bbb{Z} \iff z \sim w.$$ Como tal, debe existir un inverso izquierdo $$h : \Bbb{C} \to \Bbb{C} / \sim,$$ para que $h \circ g$ es la identidad en $\Bbb{C} / \sim$ .
Supongamos que $f$ es $1$ -periódico. Entonces $f$ puede considerarse como una función de $\Bbb{C} / \sim$ a $\Bbb{C}$ . A continuación, podemos componer $f \circ h$ para obtener un mapa de $\Bbb{C}$ a $\Bbb{C}$ . Esto nos dice que $$f = f \circ \operatorname{Id}_{\Bbb{C} / \sim} = f \circ (h \circ g) = (f \circ h) \circ g,$$ que implica $f$ es una función de $g$ según sea necesario.
Obsérvese que no se han asumido ni concluido supuestos de continuidad o analiticidad. Esto funciona de forma puramente algebraica.