Comprender la naturaleza del propagador de la función de Green de QM

Question

Estoy tratando de entender las funciones de Green de muchos cuerpos, pero primero quiero entender las funciones de Green en QM. Estoy leyendo este artículo pero tengo problemas con la ecuación 17. La ecuación dice: $$ \Psi(\mathbf r, t) = \int d^3\mathbf r' G(\mathbf r, t;\mathbf r', t')\Psi(\mathbf r', t') \tag{1} $$ ( Primera pregunta : ¿Por qué nos integramos sobre $\mathbf r'$ pero no $t'$ ?)

Pero $(1)$ no se deduce de la definición de $G$ ya que la definición de $G$ es $$ \left[ i\hbar \partial_t + \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \right] G(\mathbf r, t;\mathbf r', t') = \delta(\mathbf r-\mathbf r')\delta(t-t') \tag{2} $$ y por lo tanto $$ \begin{align*} \Psi(\mathbf r, t) &= \int d^3\mathbf r'dt' \delta(\mathbf r-\mathbf r')\delta(t-t') \Psi(\mathbf r', t')\\ &= \int d^3\mathbf r'dt' \left[ i\hbar \partial_t + \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \right] G(\mathbf r, t;\mathbf r', t') \Psi(\mathbf r', t')\\ &= \left[ i\hbar \partial_t + \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \right] \int d^3\mathbf r'dt' G(\mathbf r, t;\mathbf r', t') \Psi(\mathbf r', t'). \end{align*} $$ Ahora bien, si supongo que $(1)$ es cierto, entonces $$ \begin{align*} \Psi(\mathbf r, t) &= \left[ i\hbar \partial_t + \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \right] \int dt'\Psi(\mathbf r, t) \end{align*} $$ lo que no tiene sentido, porque $\displaystyle{\int dt' = \infty}$ . Además, porque por definición, $$ \left[ i\hbar \partial_t + \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \right]\Psi(\mathbf r, t)=V(\mathbf r, t)\Psi(\mathbf r, t). $$ Pregunta: ¿Cómo puedo demostrar $(1)$ de la definición de $G$ ?

Answer 1

La razón por la que no hay una integral sobre $t'$ es que su primera ecuación es en realidad equivalente a $$|{\psi(t)}\rangle=U(t,t')|{\psi(t')}\rangle,\quad\forall t>t'$$ donde $U(t,t')$ es el operador de evolución. Proyectando hacia fuera en $|{\vec r}\rangle$ $$\langle{\vec r}|{\psi(t)}\rangle=\langle{\vec r}|U(t,t')|{\psi(t')}\rangle =\int \langle{\vec r}|U(t,t')|{\vec r'}\rangle \langle{\vec r'}|{\psi(t')}\rangle d^3\vec r'$$ Para hacer cumplir la restricción $t>t'$ se puede elegir $$G(\vec r,t;\vec r',t')= \langle{\vec r}|U(t,t')|{\vec r'}\rangle\theta(t-t')$$ donde $\theta$ es la función de Heaviside. Para demostrar (2) a partir de (1), tomemos la derivada temporal de esta relación $$\eqalign{ {\partial\over\partial t}G(\vec r,t;\vec r',t') &=\langle{\vec r}|{\partial\over\partial t}U(t,t')|{\vec r'}\theta(t-t') +\langle{\vec r}|U(t,t')|{\vec r'}\rangle{\partial\over\partial t}\theta(t-t')\cr &=-{i\over\hbar}\langle{\vec r}|HU(t,t')|{\vec r'}\rangle\theta(t-t') +\langle{\vec r}|U(t,t')|{\vec r'}\rangle\delta(t-t')\cr }$$ utilizando de nuevo el hecho de que $U(t,t')=e^{-iH(t-t')/\hbar}$ y que la derivada de la función de Heaviside es la distribución de Dirac. Como el último término impone $t=t'$ el último término se puede escribir $$ \langle{\vec r}|U(t,t')|{\vec r'}\rangle\delta(t-t') =\langle{\vec r}|\mathbb{I}|{\vec r'}\rangle\delta(t-t') =\delta(\vec r-\vec r')\delta(t-t')$$ mientras que la primera se convierte para un hamiltoniano $H={p^2\over 2m}+V(\vec r)$ $$\eqalign{ \langle{\vec r}|HU(t,t')|{\vec r'}\rangle &=\int \langle{\vec r}|H|\vec r''\rangle \langle{\vec r''}|U(t,t')|{\vec r'}\rangle d^3\vec r''\cr &=\int \langle{\vec r}|{p^2\over 2m}+V|{\vec r''}\rangle G(\vec r'',t,\vec r',t')d^3\vec r''\cr &=\left(-{\hbar^2\over 2m}\Delta+V(\vec r)\right) G(\vec r,t,\vec r',t') }$$ Al juntar todo, se obtiene $${\partial\over\partial t}G(\vec r,t;\vec r',t') =-{i\over\hbar}\left(-{\hbar^2\over 2m}\Delta+V(\vec r)\right) G(\vec r,t,\vec r',t')+\delta(\vec r-\vec r')\delta(t-t')$$