Hace unos seis años se anunció una prueba que posteriormente se esbozó en una nota de la AMS. Sin embargo, ahora mismo sólo puedo encontrar caracterizaciones menores prohibidas para matroides linealmente representables sobre $\mathbb{F}_2,\mathbb{F}_3,\mathbb{F}_4$ y algunos para $\mathbb{F}_5$ . Ahora bien, entender el esquema dado por Geelen, Gerards y Whittle es bastante difícil para mí, ya que no estoy bien versado en la teoría de los matroides, también una prueba completa ni siquiera se ha escrito todavía, así que para ir más allá tendría que buscar a través de los 20 artículos que escribieron y utilizaron los resultados (la mayoría de los cuales ni siquiera entiendo parcialmente). Sin embargo, tengo curiosidad por saber cómo de constructiva era su prueba y si era de tal manera que un algoritmo se puede derivar de ella como un collaroy permitiendo que uno lo ejecute en todos los campos finitos hasta alguna potencia prima muy grande en un superordenador para que podamos obtener una visión al menos empírica de cómo son.
Creo que esto sería interesante porque, a diferencia de otros teoremas menores para grafos como, por ejemplo, el teorema más famoso de Robertson-Seymour, éstos nos dan una idea de la clase de grafos cerrados bajo la operación menor del grafo, aunque esta clase es tan grande que carece de una verdadera "estructura ordenada": son sólo grafos cerrados bajo menores. En cambio, la clase de matroides representables linealmente sobre campos finitos es mucho más pequeña que, por ejemplo, la clase de matroides cerrados bajo la operación menor de los matroides (también sabemos que un análogo del teorema de Robertson-Seymour para los menores es falso, por ejemplo, existen matroides cerrados bajo menores sin ningún conjunto finito de menores prohibidos), así que supongo que estos se adhieren a algún tipo de estructura general. Además, conocer explícitamente los menores de los primeros 100 campos finitos podría darnos una idea más clara de ellos y permitir que se deriven teoremas interesantes de esos matroides en particular. Por ejemplo, los matroides representables sobre el primer campo finito $\mathbb{F}_2$ se denominan matroides binarios y existen todo tipo de teoremas especiales para ellos, por ejemplo, un teorema de Euler y un análogo de la teoría de grafos del teorema crítico del factor, que no necesariamente se aplican a los matroides sobre otros campos finitos.
