Ok - Esto no es tan suave como lo que quieres. Estoy seguro de que alguien puede ayudar con una solución más suave.
Uso superficial de Hölder.
Supongamos que $X_i$ y $X_j$ son independientes. Entonces, $X^{2}_{i}$ y $X^{2}_{j}$ también son independientes. Ahora, $$ E(X^{2}_{i} X^{2}_{j}) \leq \sqrt{E(X^{4}_{i})} .\sqrt{E(X^{4}_{j})} = E(X^{4}_{1}) $$ tomando $p=q=2$ .
Ahora, ampliando $(\sum_{i=1}^{n} X_i)^4$ y observando que sólo hay coeficientes multinomiales con expectativa distinta de cero cuando todos los términos tienen potencias pares. Es decir $E (X_{i}^{4})$ es distinto de cero, y $E (X_{i}^{2}X_{j}^{2})$ es distinto de cero. Los demás términos caen, ya que al menos tienen un único término de potencia.
Nota: las posibles expansiones multinomiales son {4, (2,2), (3,1), (2, 1, 1) y (1,1,1)}.
Así, $$E(\sum_{i=1}^{n} X_i)^4 = \sum_{i=1}^{n}E(X_i^4) + \sum_{i\neq j} 6.E(X_i^2.X_j^2) \leq \sum_{i=1}^{n}E(X_i^4) + \sum_{i\neq j} 6.E(X_i^4).$$
Tenga en cuenta ahora que $X_i$ son i.i.d. y observando que el número de términos de $i \neq j$ es $ n.(n-1)/2,$
$$E(\sum_{i=1}^{n} X_i)^4 \leq {n}E(X_1^4) + 3n(n-1).E(X_i^4).$$ Dividir por $n^4$ para conseguir
$$E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i)^4 \leq 3n^{-2}.E(X_i^4) .$$
